2008　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

2008　信州大学　後期　理学部数IAIIB

易□　並□　難□

【１】　座標平面上の点 $P (x, y)$ と点 $A (0, 1)$ との距離を $d_{1} ，$ 点 $P$ と $x$ 軸との距離を $d_{2}$ とする． $d_{1} + d_{2} ≦ 2$ をみたす点 $P$ の全体が表す領域を図示し，その面積を求めよ．

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【２】　係数がすべて実数である $3$ 次の整式 $P (x)$ を考える． $3$ 次方程式 $P (x) = 0$ は虚数解 $1 - 2 i$ をもち，また $P (x)$ を $x^{2} - 2$ で割った余りは $x + 17$ である．このとき，整式 $P (x)$ を求めよ．

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【３】　

(1)　 $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲で不等式 $2 \cos^{2} θ - \sin - 1 < 0$ を解け．

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【３】　

(2)　和 $\sum_{k = 1}^{n} k 2^{k}$ を求めよ．

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【３】　

(3)　関数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ の区間 $−3 ≦ x ≦ 3$ における最大値・最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ．

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【４】　三角形 $ABC$ の $3$ 辺の長さを $AB = 4 ， BC = 3 ， CA = 2$ とする．この三角形の外心を $O$ とおく．

(1)　ベクトル $\vec{CA}$ と $\vec{CB}$ の内積 $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ を求めよ．

(2)　 $\vec{OC} = a \vec{CA} + b \vec{CB}$ をみたす実数 $a ， b$ を求めよ．