2008　信州大学　後期　教育学部MathJax

【１】　$\alpha$を方程式$x^2-x-1=0$の正の解とする．次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=p\alpha +q$を満たす有理数$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$f_n={\alpha }^n+{(-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }})}^n$

とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．

$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　任意の自然数$n$に対して，$f_n$は整数であることを示せ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において

$\tan A:\tan B:\tan C=6:3:2$

であるとする．次の問に答えよ．

(1)　$\tan A\text{，}\tan B\text{，}\tan C$の値を求めよ．

(2)　$3$辺の比$\mathrm{BC}:\mathrm{CA}:\mathrm{AB}$を求めよ．

【３】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$の$2$等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=2x\text{，}$内接円の半径を$r$とする．次の問に答えよ．

(1)　$r$を$x$で表せ．

(2)　$r$を最大にする$x$の値を求めよ．

【４】　$y=2\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフを曲線$C$とする．直線$l:y=-x+a$が$C$に接しているとき，次の問に答えよ．

(1)　$n$の値を求めよ．

(2)　$C$と$l$および$x$軸で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ．