2008　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$2$つの円$x^2+{(y-2)}^2=9$と${(x-4)}^2+{(y+4)}^2=1$に外接し，直線$x=6$に接する円を求めよ．ただし，$2$つの円がただ$1$点を共有し，互いに外部にあるとき，外接するという．

【２】　次の不等式の表す領域を$D$とする．

${(x-2)}^2+|2x+3y-1|\leqq 4$

(1)　$D$の外形を描き，その面積を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$x+y$の最大値と最小値およびそれらの値を取る点の座標を求めよ．

【３】[A]　次の問に答えよ．

(1)　$3x+2y\leqq 8$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y)$の個数を求めよ．

(2)　$3x+2y\leqq 2008$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y)$の個数を求めよ．

【３】[B]　袋$\mathrm{A}$の中に赤玉と白玉がそれぞれ$2$つ入っていることと，袋$\mathrm{B}$の中に赤玉$3$つと白玉$2$つが入っていることが分かっている．

(1)　袋$\mathrm{B}$から$2$つの玉を取り出すとき，取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{A}$から$1$つの玉を取り出し，そのあと袋$\mathrm{B}$から$2$つの玉を取り出す．その$3$つの玉のうち赤玉が$2$つである確率を求めよ．

(3)　袋$\mathrm{A}$から$1$つの玉を取り出したあとで，$2$つの玉を袋$\mathrm{A}$から取り出すかあるいは$2$つの玉を袋$\mathrm{B}$から取り出すかのどちらかを選択できるとする．できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき，最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数として，$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+2$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{-1}& \mathrm{-1}\\ 1& \mathrm{-1}\end{array}\right)$と単位行列$E$に対して，$A^4+a{A}^3+b{A}^2+cA+2E=O$（ただし$O$は零行列）とする．

(1)　$b\text{，}c$を$a$を用いて表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つ正の解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$で辺$\mathrm{AC}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，

$▵\mathrm{APR}\text{の面積}=2\times (▵\mathrm{BQR}\text{の面積})$

が成り立っているとする．

(1)　$s$を$t$を用いて表せ．

(2)　極限$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{s}{t}}$を求めよ．ただし，$t$が正の範囲で$0$に限りなく近づくとき，$t\to +0$と表す．

【３】　曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(a,\log a)\text{，}$点$\mathrm{Q}(b,\log b)\text{（}1<a<b$）をとる．

• 点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした$2$本の垂線と$x$軸および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．
• 点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$から$y$軸に下ろした$2$本の垂線と$y$軸および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$T$とする．

　このとき，$S=T$となるように$b$がとれる$a$の値の範囲を求めよ．

【４】[A]　次の問に答えよ．

(1)　$3x+2y\leqq 2008$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y)$の個数を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}}\leqq 10$を満たす$0$以上の整数の組$(x,y,z)$の個数を求めよ．

【４】[B]　袋$\mathrm{A}$の中に赤玉と白玉がそれぞれ$4$つ入っていることと，袋$\mathrm{B}$の中に赤玉$3$つと白玉$2$つが入っていることが分かっている．

(1)　袋$\mathrm{B}$から$2$つの玉を取り出すとき，取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{A}$から$3$つの玉を取り出し，そのあと袋$\mathrm{B}$から$2$つの玉を取り出す．その$5$つの玉のうち赤玉が$3$つである確率を求めよ．

(3)　袋$\mathrm{A}$から$3$つの玉を取り出したあとで，$2$つの玉を袋$\mathrm{A}$から取り出すかあるいは$2$つの玉を袋$\mathrm{B}$から取り出すかのどちらかを選択できるとする．できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき，最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．