2008　奈良教育大学　前期MathJax

(1)　$\sin x\leqq x$

(2)　$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\leqq \cos x$

(3)　$x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3\leqq \sin x$

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{{(1+x^2)}^2}}\mathit{dx}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}\mathit{dx}}$

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}\mathit{dx}$

【３】　図のように直角三角形$\mathrm{ABC}$に正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1$を内接させる．次に，直角三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1\mathrm{C}$に正方形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2$を内接させる．このように順に正方形を作っていくとき，次の問いに答えよ．ただし$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle B}=90\mathrm{°}$とする．

(1)　正方形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1$の一辺の長さを求めよ．

(2)　正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2\text{，}\cdots$の周の長さの総和を求めよ．

(3)　正方形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_1{\mathrm{C}}_2\text{，}\cdots$の面積の総和を求めよ．

(1)　$x>0$のとき，平均値の定理を用いて，

$e^x-1=x{e}^c\text{，}$$0<c<x$

を満たす$c$が存在することを示せ．

(2)　$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}}=1$を示せ．