2008　広島大学　前期

【１】　$3$次関数

$y=x^3-cx$

のグラフを考える．ただし，$c$は定数とする．そして，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が，次の条件を満たしながら，このグラフ上全体を動くものとする．

（条件）$\mathrm{P}$の$x$座標は$\mathrm{Q}$の$x$座標より$1$だけ小さい．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の傾きが最小になるときの点$\mathrm{P}$の$x$座標と，傾きの最小値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の傾きが$0$となる点$\mathrm{P}$が存在するような，$c$の値の範囲を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の中点の$x$座標と同じ$x$座標をもつグラフ上の点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$におけるグラフの接線の傾きは，線分$\mathrm{PQ}$の傾きより常に小さいことを示せ．

【２】　$k\text{，}l$を自然数とし，座標平面上の点$(k,l)$に数$2^{k-1}(2l-1)$を記入する（右図を参照）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(2,25)$に記入される数を求めよ．

(2)　$2008$が記入される点の座標を求めよ．

(3)　どの自然数も座標平面上のどこかの点に$1$回だけ記入される．その理由を書け．

【３】　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と，その上を動く$1$個の石を考える．この石は，時刻$t=0$で点$\mathrm{A}$にあり，その後，次の規則(a)，(b)にしたがって動く．

　各$t=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，

(a)　時刻$t$に石が点$\mathrm{A}$にあれば，時刻$t+1$に石が点$\mathrm{A}$にある確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$点$\mathrm{B}$にある確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

(b)　時刻$t$に石が点$\mathrm{B}$にあれば，時刻$t+1$に石が点$\mathrm{B}$にある確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$点$\mathrm{A}$にある確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

　いま，$n$を自然数とし，時刻$t=n$において石が点$\mathrm{A}$にある確率を$p_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_1$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(3)　$p_n$を求めよ．

【４】　$x_1=x_2=1$とし，$x_n\text{（}n=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$は$x_{n-2}$と$x_{n-1}$の和を$3$で割ったときの余りであるとして，数列$\{x_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{x_n\}$の第$3$項から第$12$項までのそれぞれの値を，解答用紙にある表の中に書け．

(2)　$x_{346}$を求めよ．

(3)　$S_m={\displaystyle \sum _{n=1}^m}{x}_n$とおくとき，$S_m\geqq 684$を満たす最小の自然数$m$を求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$の範囲を動く．そして，線分$\mathrm{AN}$と$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表し，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が平行であることを示せ．

(2)　$s={\displaystyle \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BP}}}$とするとき，$s$を$t$を用いて表し，$s$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{AMP}$と三角形$\mathrm{OAB}$の面積比$r={\displaystyle \frac{▵\mathrm{AMP}}{▵\mathrm{OAB}}}$を(2)の$s$を用いて表し，$r$の最大値を求めよ．

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$2\times 2$行列，$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$を零行列，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を単位行列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　「$A^3=O$ならば$A^2=O$が成り立つことを示せ」という問題に対して，次のような解答があった．

この解答には誤りがある．解答中の$\text{①}\text{，}\text{②}$のそれぞれについて，正しいかどうかを判定し，正しくない場合には正しくないことを示す例（反例）をあげよ．

(2)　$A^3=O$のとき，$A$は逆行列をもたないことを示せ．

(3)　「$A^3=O$ならば$A^2=O$が成り立つ」ことを証明せよ．ただし，等式

$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$

が成り立つことは証明なしで用いてよい．

【２】　次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数を表す．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$を満たす実数$x$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{x}{n+1}}\leqq \log (1+{\displaystyle \frac{x}{n}})\leqq {\displaystyle \frac{x}{n}}$

が成り立つことを示せ．ただし，対数は自然対数とする．

(2)　次の値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^5$

(3)　数列$\{a_n\}$を

$a_n=(1+{\displaystyle \frac{1^5}{n^6}})(1+{\displaystyle \frac{2^5}{n^6}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{n^5}{n^6}})$

で定めるとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と，その上を動く$1$個の石がある．この石は，時刻$t=0$では点$\mathrm{A}$にあり，その後，次の規則(a)，(b)にしたがって動く．

　各$t=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，

(a)　時刻$t$に石が点$\mathrm{A}$にあれば，時刻$t+1$に石が点$\mathrm{A}$にある確率は$c\text{，}$点$\mathrm{B}$にある確率は$1-c$である．

(b)　時刻$t$に石が点$\mathrm{B}$にあれば，時刻$t+1$に石が点$\mathrm{B}$にある確率は$2c\text{，}$点$\mathrm{A}$にある確率は$1-2c$である．

　ただし，$c$は$0<c<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす定数とする．

　いま，$n$を自然数とし，時刻$t=n$において石が点$\mathrm{A}$にある確率を$p_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$と$c$を用いて表せ．

(3)　$p_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．

【４】　平面上のベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$は，その大きさがともに$\sqrt{2}$であり，なす角が$120°$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$を求めよ．

(2)　$k\text{，}l$を整数とするとき，${|k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}|}^2$は偶数であることを示せ．

(3)　(2)で，$k$または$l$が奇数のとき，${|k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}|}^2$は$4$の倍数ではないことを示せ．

(4)　$m\text{，}n$が整数であり，$m=n=0$ではないならば，$|m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}|$は整数ではないことを示せ．

【５】　右図のように，点$\mathrm{O}$から出る$2$本の半直線$l\text{，}m$があり，$l$と$m$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$l$上に$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1=1$となるように点${\mathrm{P}}_1$を定め，

${\mathrm{P}}_1$から$m$に垂線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$を下ろし，

${\mathrm{Q}}_1$から$l$に垂線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2$を下ろし，

${\mathrm{P}}_2$から$m$に垂線${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$を下ろし，

${\mathrm{Q}}_2$から$l$に垂線${\mathrm{Q}}_2{\mathrm{P}}_3$を下ろす．

　同様にくりかえして，点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を定め，三角形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$S_n$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2}{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1}}$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

(3)　$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求め，$\sin 2\theta$と$\cos 2\theta$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$S$を$\theta$の関数と考えて，$S$の最大値を求めよ．ただし，その最大値を与える$\theta$の値は求めなくてよい．