2008　広島大学　後期

【１】　$1$本$80$円のシャープペンシルと$1$本$50$円のボールペンと$1$本$20$円の鉛筆をちょうど$750$円分買うものとする．シャープペンシルとボールペンと鉛筆の本数の合計を$n$本とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n$が$3$の倍数になることを証明せよ．

(2)　$n=12$となるようなシャープペンシルとボールペンと鉛筆の本数の組をすべて求めよ．

【２】　チョコレートとキャンディーとクッキーが$1$つずつ乗った皿が$5$枚ある．各々の皿からこれらの菓子を適当に$1$つ取り，計$5$個の菓子をあらかじめ用意した袋に詰める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　袋にチョコレートが$1$つ，キャンディーとクッキーが各$2$つ入っている確率を求めよ．

(2)　袋にクッキーが入っていない確率を求めよ．

(2)　袋に入っていえるクッキーの枚数の期待値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}+y\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$x\text{，}y$は実数）が成り立っているとする．また，$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ならば$x=y=0$であることを示せ．

(2)　直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が$1$点$\mathrm{Q}$で交わるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}x\text{，}y$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線に平行であるとき，$x$と$y$が満たすべき関係式を求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$とする．また，$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ x& y\end{array}\right)$は逆行列をもつとする．ただし，$x\text{，}y$は整数とする．$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$となるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$を求めよ．

(3)　$n$が自然数のとき，$A^n$を求めよ．

【５】　点$\mathrm{O}$を中心とし半径$1$の円を$C$とする．$C$上の定点$\mathrm{A}$と$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$となる$C$上の点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{A}$における円$C$の接線と$\mathrm{OP}$の延長線との交点を$\mathrm{B}$とする．さらに，$\angle \mathrm{AOQ}=2\theta$となる$C$上の点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，弧$\mathrm{AQ}$上に点$\mathrm{P}$がある．四角形$\mathrm{OABQ}$から扇形$\mathrm{OAQ}$を取り去った図形の面積を$S(\theta )$とする．$S(0)=0$として，次の問いに答えよ．

(1)　$S(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S^{\prime }(\theta )$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^2\theta d\theta$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}S(\theta )d\theta$を求めよ．

【１】　放物線$y=x^2-1$と直線$y=3$で囲まれる図形を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　この図形の面積$S$を求めよ．

(2)　この図形を$y$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V_y$を求めよ．

(3)　この図形を$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積$V_x$を求めよ．

【２】　$y=x^2$のグラフ上の点$\mathrm{P}(p,p^2)$を中心として，直線$y=-b$に接する円を$C_p$とする．ただし$b>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　円$C_p$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_p$が$p$の値によらず，ある定点$\mathrm{A}$を通るとする．このとき$b$の値と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす点$\mathrm{A}$と$b$をとる．円$C_p$の面積を$S(p)$とし，三角形$\mathrm{OAP}$の面積を$T(p)$（ただし$\mathrm{O}$は原点）とするとき，$p>0$の範囲で${\displaystyle \frac{S(p)}{T(p)}}$を最小にする$p$を求めよ．

【３】　$x>0$の範囲で関数$f(x)=e^{-x}\sin x$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極大値をとる$x$の値を小さい方から順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots$とおく．一般の$n\geqq 1$に対し$x_n$を求めよ．

(2)　数列$f(x_n)$が等比数列であることを示し，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}f(x_n)$を求めよ．

【４】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$S$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$S$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}$となる点$\mathrm{E}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\ne \overrightarrow{0}$のとき，線分$\mathrm{OE}$が角$\mathrm{AOB}$を二等分することを示せ．

(2)　$S$に内接する三角形$\mathrm{ABC}$が条件

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．このとき三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形になるか，証明付きで述べよ．

(3)　$S$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が条件

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．このとき四角形$\mathrm{ABCD}$はどのような四角形になるか，証明付きで述べよ．

【５】　表と裏がそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$であらわれるようなコインが$2n$枚ある．これらのコインを投げたとき，ちょうど$n$枚が表，残りのちょうど$n$枚が裏となる確率を$A_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$A_1$を求めよ．

(2)　$A_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{A_{n+1}}{A_n}}$を求めよ．

(4)　$A_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．