2008　佐賀大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　銳角三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とし，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に向かい合う辺の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とおく．このとき，

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}={\displaystyle \frac{b}{\sin B}}={\displaystyle \frac{c}{\sin C}}=2R$

を証明せよ．

(2)　$45\mathrm{°}\text{，}$$60\mathrm{°}\text{，}$$75\mathrm{°}$を内角にもつ三角形を利用して，$\sin 75\mathrm{°}$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x^3-4x^2+3x$の增減を調ベ，そのグラフをかけ．

(2)　$y$軸上の点$(0,a)$を通る(1)のグラフの接線で，接点の$x$座標が正であるものは何本あるか．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　平面において，一直線上に相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{B}$をこの順にとる．次に線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円$C$をかき，点$\mathrm{P}$を通る直線$\mathrm{AB}$の垂線と半円$C$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，半円$C$の半径と線分$\mathrm{PQ}$の長さをそれぞれ線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さを用いて表せ．

(2)　(1)を用いて，$2$つの正の数$a\text{，}$$b$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\geqq \sqrt{ab}$

が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合かも示せ．

【４】　平面上の平行でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0}$が，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0}>0$を满たし，点$\mathrm{X}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=2\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0}$

を满たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{X}$を通る直線が点$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で$2$本の半直線$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0\text{，}$$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$とそれぞれ交わり，点$\mathrm{X}$が線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分するとする．

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=p\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=q\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0}$

とおくとき，$p$と$q$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　数$t$が不等式$0<t<1$を满たすとき，半直線$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0$上の点$\mathrm{A}$と半直線$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$上の点$\mathrm{B}$で，点$\mathrm{X}$が線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点となるものがとれることを示せ．

(3)　点$\mathrm{O}$と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がそれぞれ半直線$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_0\text{，}$$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_0$上を，直線$\mathrm{AB}$が点$\mathrm{X}$を通るように動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が最小となるのは，点$\mathrm{X}$が線分$\mathrm{AB}$の中点のときであることを示せ．

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$直線$x-y+1=0$と$x-2y-2=0$をそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$とし，点$\mathrm{A}$$(5,5)$をとる．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$はそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$上にあるとする．ただし，右図の影をつけた部分の角が示しているように，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$と直線$l_1$とのなす角は等しく，線分$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CO}$と直線$l_2$とのなす角は等しいとする．

(1)　$a\ne 0\text{，}$$b\ne 0\text{，}$$c\ne 0$を満たす定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対して，直線$ax+by+c=0$を$l$とする．直線に関して，点$\mathrm{P}$$(m,n)$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は

$(m-{\displaystyle \frac{2a(am+bn+c)}{a^2+b^2}},n-{\displaystyle \frac{2b(am+bn+c)}{a^2+b^2}})$

であることを証明せよ．ただし，$\mathrm{P}$は$l$上の点でないとする．

(2)　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【２】　$0<a<1\text{，}$$0<b<1$を満たす実数$a\text{，}$$b$に対して，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1-b\\ 1-a& b\end{array}\right)\text{，}$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& {\displaystyle \frac{1-a}{1-b}}\end{array}\right)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$P$の逆行列$P^{-1}$を求めよ．

(2)　$P^{-1}AP$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$

とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

(4)　$x_n\text{，}$$y_n$はどのような試行に対する，どのような事象の確率を与えていると考えられるか，例を$1$つ示せ．

【３】　$n$は自然数とし，数列$\{x_n\}$は

$[\begin{array}{cc}{x}_1=3& \\ x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n+{\displaystyle \frac{4}{x_n}})& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

によって定まるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$について$x_n\geqq 2$であることを証明せよ．

(2)　すべての$n$について$x_{n+1}-2\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n-2)$であることを証明せよ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

(4)　$f(x)=x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(x+{\displaystyle \frac{4}{x}})$とするとき，$g(x)>f(x)$となる$x$の範囲を求めよ．

(5)　$y=f(x)$と$y=g(x)$および$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】(1)　自然数$n$と実数$a$について，$n$が偶数のとき，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^n(a+x)\mathit{dx}={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{n-2}(a+x)\mathit{dx}$

となることを示せ．

(2)　$a\ne 0\text{，}$$b\ne 0$を満たす実数$a\text{，}$$b$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(a\sin x+b\cos x)}^6\mathit{dx}$

を求めよ．

【１】　$a>1$とする．

$y=-{({\log }_{a}x)}^2+{\log }_a{x}^4$

について，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{a}x=t$とおくとき，$y$を$t$の式として表せ．

(2)　$0\leqq y\leqq 3$となる$t$の範囲を求めよ．

(3)　$2\leqq x\leqq 4$を満たすすべての$x$に対して，$0\leqq y\leqq 3$となる$a$の範囲を求めよ．

【３】　大，中，小$3$つのさいころを同時に投げて，出た目を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．ただし，$b\geqq a\geqq c$とする．$2$次関数

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

を考え，放物線$y=f(x)$を$G$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の$A$は$a\text{，}$$b$を用いて表し，$B$は$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

$a{x}^2+bx+c=a{(x+A)}^2-B$

(2)　$G$と$x$軸とが異なる$2$点で交わるとき，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha <\beta$とする．$2$点$(\alpha ,0)\text{，}$$(\beta ,0)$における$G$の接線をそれぞれ$G_1\text{，}$$G_2$とする．$G$と$G_1$および$G_2$によって囲まれる図形の面積$S$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(3)　$G$と$x$軸とが異なる$2$点で交わって，しかも$S\leqq {\displaystyle \frac{1}{24}}$となる確率を求めよ．

(4)　(3)の場合は$X=b$とし，それ以外の場合には$X=0$とする．$X$の期待値を求めよ．

【４】　座標平面上の曲線$y=x^2$を$C$とし，$m$を$0\leqq m\leqq 1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$(m,m^2)$における$C$の接線$L_m$の式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$$(1,a)$と$\mathrm{Q}$$(b,0)$を$L_m$上の点とする．$a$と$b$を$m$の式で表せ．

(3)　$\mathrm{R}$$(1,0)$について，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$m$の式で表せ．

(4)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．