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2008-10901-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
2008 熊本大学 前期
教育,医(看護)学部
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とする. 0≦θ≦ π のとき,関数 y= a⁢cos⁡θ −2⁢sin2 ⁡θ の最大値,最小値をそれぞれ M ⁡(a ), m⁡( a) とする.以下の問いに答えよ.
(1) M⁡( a) と m ⁡(a ) を求めよ.
(2) a が実数全体を動くとき, M ⁡(a ) の最小値と m ⁡(a ) の最大値を求めよ.
2008-10901-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁)へ
【2】 n を 3 以上の自然数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 2≦k≦ n を満たす自然数 k について, k⁢( k−1) ⁢Ck n =n⁢ (n− 1)⁢ Ck− 2 n−2 を示せ.
(2) ∑ k=1 nk ⁢(k −1) ⁢Ck n を求めよ.
(3) ∑ k=1 n⁢k 2⁢C k n を求めよ.
2008-10901-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
教育,理,工,医,薬学部
理,工,医(看護以外),薬学部は【1】
【3】 放物線 y =4⁢x 2+3 を C とする. x 軸上に点 P (p, 0) ( p≠0 とする), C 上に点 A (p ,4⁢p 2+3 ) をとり,点 A における C の接線 l と x 軸との交点を Q (q ,0) とする.さらに,点 B (q, 4⁢q2 +3 ) における C の接線を m とする.以下の問いに答えよ.
(1) q を p を用いて表せ.
(2) 接線 m が点 P を通るとする. p , q の値を求めよ.
(3) (2)で求めた p , q に対して,放物線 C と 2 つの接線 l , m で囲まれた部分の面積を求めよ.
2008-10901-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF7頁)へ
理,工,医(看護専攻以外),薬学部は【2】
【4】 数列 { an} が
a1= 0, an = (n− 1)⁢ (n− 2) 2+ ∑ k=1 n−1 ak ( n=2 , 3 ,4 ,⋯ )
によって定められている.以下の問いに答えよ.
(1) bn= n+an ( n=1 , 2 , 3 ,⋯ ) とおくとき, bn= 1+ ∑k= 1n− 1b k ( n=2 , 3 , 4 ,⋯ ) を示せ.
(2) 数列 { bn } が等比数列であることを示せ.
(3) an を求めよ.
(4) ∑ k=1 na k を求めよ.
2008-10901-0105
理,工,医(看護以外),薬学部
【3】 直線 y =2⁢x +1 を l とする.また,行列 ( 2 ab c ) を A とする.直線 l 上の各点は A が表す移動によって l 上の点に移るとする.以下の問いに答えよ.
(1) b の値を求め, c を a を用いて表せ.
(2) a≠− 1 2 ならば,直線 l 上の点 P で, A が表す移動によって P 自身に移るものが存在することを示せ.
(3) 直線 l 上の各点 Q は A が表す移動によって Q と異なる l 上の点に移るとする. a , c の値を求めよ.
2008-10901-0106
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF13頁)へ
【4】 放物線 C :y= 14⁢ x2 および点 F (0 ,1) について考える.以下の問いに答えよ.ただし, O は原点を表す.
(1) 放物線 C 上の点 A (x ,y) ( x>0 とする)に対して θ =∠OFA , r=FA とおく. r を θ を用いて表せ.
(2) 放物線 C 上に n 個の点 A 1 (x 1,y 1) , A2 (x 2,y 2) ,⋯ , An (x n,y n) を
xk> 0 かつ ∠ OFA k= k⁢π 2⁢n ( k=1 ,2 ,3 ,⋯ ,n )
を満たすようにとる.極限 lim n→∞ 1 n⁢ ∑ k=1n FAk を求めよ.