2008　大分大学　前期MathJax

【１】　等差数列$2,5,8,\cdots$を$\{a_n\}\text{，}$等比数列$2,-4,8,\cdots$を$\{b_n\}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項から第$20$項までの和を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和が$300$を超える最小の$n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$との両方に含まれる数を順に取り出してできる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=9$と放物線$C_2\text{：}y=x^2+a$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$a=-3$のとき，円$C_1$と放物線$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　$a>0$のとき，放物線$C_2$によって切り取られる円$C_1$の弧の長さが$\pi$となるように$a$の値を定めよ．

【３】　等式

${\displaystyle {\int }_x^1}f(t)\mathit{dt}=x^3-ax+{\displaystyle {\int }_0^2}|t^2-1|\mathit{dt}$

を満たす関数$f(x)$について，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$および定数$a$の値を求めよ．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_x^1}f(t)\mathit{dt}$とするとき，関数$g(x)$の極値を求めよ．

【４】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$を重複を許して並べてできる数について，次の問いに答えなさい．

(1)　各けたの数の和が$6$となる$5$けたの数の個数を求めよ．

(2)　各けたの数の和が$7$となる$5$けたの数の個数を求めよ．

(3)　各けたの数の和が$k+3$となる$k$けたの数の個数を求めよ．

【３】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 8\\ -1& 5\end{array}\right)\text{，}$$P=\left(\begin{array}{cc}a& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$

に対して，$P$が逆行列をもち，

$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& c\end{array}\right)$

となるとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq 3$で定義された関数

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{（}1\leqq x\leqq 3\text{）}\\ 0& \text{（}0\leqq x<1\text{）}\end{array}$

がある．曲線$y=f(x)$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる形の容器に毎秒$2\pi$の割合で水を注入する．注入し始めてから$t$秒後の水の体積を$V\text{，}$底面から水面までの高さを$h$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$V$を$h$の式で表せ．

(2)　容器が水で満たされるのは何秒後か．

(3)　$t=6$のときの水面の上昇する速度${\displaystyle \frac{\mathit{dh}}{\mathit{dt}}}$を求めよ．

【１】　正の整数$A$に対して，つぎの条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす正の整数の組$(a,b)$の総数を$N(A)$と表わす．

(ⅰ)　$a<b$

(ⅱ)　$a$と$b$の最小公倍数は$A$である．

(1)　$N(105)$を求めよ．

(2)　$N(2310)$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$は$b\geqq a>0$をみたす定数とする．$x\text{，}$$y$が$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x^3+y^3=1$をみたしながら変化するとき，$a^{2}x+b^{2}y$のとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　$f(x)=2^{\frac{x}{2}}$とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　$a_n<a_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$a_n<2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　$f(x)=x$をみたす$x$を求めよ．

(4)　$f(\alpha )=\alpha$のとき

$\alpha -a_{n+1}<{\displaystyle \frac{\alpha \log 2}{2}}(\alpha -a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

　ただし，必要ならば任意の実数$x\ne 0$に対して$e^x>1+x$が成り立つことを証明なしに用いてよい．