2008　宮崎大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

$a_1=1\text{，}$$S_{n-1}-a_n=-4$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとき，次の各問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　$x$についての$4$次の整式$f(x)$は，次の条件ⅰ)，ⅱ)，ⅲ)を満たしている．

ⅰ)　$f(x)$の$4$次の係数は$1$である．

ⅱ)　$f(1)=0\text{，}$$f(2)=-1$である．

ⅲ)　$f(x)$を$x^2-3x$で割った余りは$7x+5$である．

$f(x)$を$x^2-3x+2$で割ったときの商を$g(x)\text{，}$余りを$k(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$k(x)$を求めよ．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　座標平面上において，$3$つの関数$y=x^2-3x+2\text{，}$$y=g(x)\text{，}$$y=k(x)$のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}$はサイコロを$1$個投げる．そのときの$\mathrm{A}$の得点は，出た目が$2$または$4$のときは$20$点，$3$のときは$30$点，$6$のときは$50$点，それ以外は$0$点とする．

　一方，$\mathrm{B}$はコインを$3$枚投げる．そのときの$\mathrm{B}$の得点は，表が$2$枚以上出たときは$p$点，それ以外は$0$点とする．

　$\mathrm{A}$の得点の期待値と$\mathrm{B}$の得点の期待値が等しいとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$の得点の期待値を求めよ．

(2)　$p$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$の得点が$\mathrm{B}$の得点より大きくなる確率を求めよ．

【１】　微分と積分に関する次の各問に答えよ．

(1)　次の関数を微分せよ．

$\begin{array}{ll}\text{(a) }y=x\log \left|x\right|& \text{(b) }y={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}\end{array}$

【１】　微分と積分に関する次の各問に答えよ．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

$\begin{array}{ll}\text{(a) }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\cos x\mathit{dx}& \text{(b) }{\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}}\mathit{dx}\\ \text{(c) }{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\mathit{dx}& \text{(d) }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}\cos 2x\cos 3x\mathit{dx}\end{array}$

【２】　座標平面において，原点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}$$(1,2)$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$の内部またはその周上に点$\mathrm{P}$$(a,b)$がある．点$\mathrm{P}$から$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BO}$までの距離の和を$k$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$k$を$a$と$b$についての$1$次式で表せ．

(2)　$k$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　空間内に右図のような$1$辺の長さが$1$である立方体がある．辺$\mathrm{EF}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{X}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{Z}$とする．さらに辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Z}$を通る平面と直線$\mathrm{GH}$との交点を$\mathrm{Y}$とおく．

　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PY}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Y}$が辺$\mathrm{GH}$上にあるとき，$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)において四角形$\mathrm{PXYZ}$がひし形になるとき，$t$の値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x$$+{\displaystyle {\int }_1^x}(6t-4x)t\log t\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$について，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　不等式

${\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)+{\log }_3(x+1)>3$

を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，等式

$(1+\sqrt{3})\sin x\tan x$

を満たす$x$の値を求めよ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x$$+{\displaystyle {\int }_1^{2x}}(3t-4x)t\log t\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$

について，次の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$について，$f^{\prime }(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

【５】　座標平面上に点$\mathrm{P}$$(-l,0)$をとる．ただし，$l$は正の定数とする．また，原点を中心とする半径$1$の円周上に$2$点$\mathrm{Q}$$(\cos \theta ,-\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{R}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$$(0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$をとる．$\mathrm{▵PQR}$の周の長さを$f(\theta )$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(\theta )$を，$l$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値を，$l$を用いて表せ．