2008　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　方程式$x^3-1=0$の虚数解の一つを$\omega$とするとき，${\omega }^4+{\omega }^2+1$の値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$-2\leqq m<2$かつ$-2<n\leqq 2$であるような整数の組$(m,n)$のうち，条件$\text{「}1\leqq m$または$n<0\text{」}$を満たすものの個数を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　半径$r$の円$O$の外部の点$\mathrm{P}$からこの円に引いた接線の接点の一つを$\mathrm{T}$とする．$\mathrm{T}$を端点とする円$O$の直径$\mathrm{TQ}$をとる．三角形$\mathrm{PTQ}$の辺$\mathrm{PQ}$と円$O$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}$の長さを求めよ．ただし，$\mathrm{\angle QPT}=30\mathrm{°}$とする．

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　正六角形の頂点の中から異なる$3$点を選んで三角形を作る．この三角形が正三角形にも二等辺三角形にもならない確率を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は関係式

$2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=3^n-a_n-6$

を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　初項$a_1$を求めよ．

(2)　漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+2\cdot 3^{n-1}$$\text{（}n\geqq =1\text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【３-１】　関数$f(x)$は$f(0)=0$および$f(-1)=f(1)=3a$を満たす$2$次関数とし，関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}+{\displaystyle \frac{4}{a}}$

とする．ただし，$a$は$0$でない定数である．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　直線$y=3x+2$が曲線$y=g(x)$に接するように定数$a$の値を定めよ．さらに，その接点の座標を求めよ．

【３-２】　$xy$座標平面において，曲線

$y=\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$$\cdots \text{①}$

と直線

$y=-{\displaystyle \frac{2}{\pi }}x+1$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$$\cdots \text{②}$

で囲まれた図形をD とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$および$\text{②}$のグラフを描き，領域$D$を図示せよ．

(2)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３】　$e$を自然対数の底とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　積分${\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)e^t\mathit{dt}$を計算することにより，次の等式を証明せよ．

$e^x=1+x+{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)e^t\mathit{dt}$

(2)　すべての自然数$n$について，等式

$e^x=1+{\displaystyle \sum _{p=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{p!}}{x}^p$$+{\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_0^x}{(x-t)}^n{e}^t\mathit{dt}$

が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

(3)　$x>0$のとき，すべての自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$e^x>1+{\displaystyle \sum _{p=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{p!}}{x}^p$

【４】　平面に四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，頂点$\mathrm{C}$は

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{4}{5}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\overrightarrow{d}$

を満たすものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は同一直線上にあることを証明せよ．

【５-１】　行列$A$を，$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}-1& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$により与え，$xy$平面での$y$軸に関する点の対称移動を表す行列を$B$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，$A^n$を求めよ．

(2)　行列$AB$は$xy$平面の原点を中心とする角$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 360\mathrm{°}\text{）}$の回転移動を表す行列である．$\theta$の値を求めよ．

(3)　$xy$平面の原点を中心とした$60\mathrm{°}$の回転移動を表す行列を$C$とするとき，$C^{n}B=A^n$となる$6$以下の自然数$n$を求めよ．

【５-２】　極方程式$r=a\cos \theta$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で与えられる曲線を$C_1$とする．ただし，$a$は正の定数である．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}$と極$\mathrm{O}$を結ぶ直線$\mathrm{OP}$の点$\mathrm{P}$の側の延長上に$\mathrm{PQ}=a$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡$C_2$の極方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた曲線$C_2$上の点$\mathrm{Q}$$(r_0,{\theta }_0)$を通り，点$\mathrm{Q}$と極$\mathrm{O}$を結ぶ直線に垂直な直線を$l$とする．直線$l$の直交座標$(x,y)$に関する方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた直線$l$は，点$\mathrm{Q}$に関係なく常に点$(a,0)$を中心とし半径が$a$の円に接することを証明せよ．

【５-３】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の番号をつけた$4$枚のカードがある．この中からカードを$1$枚取り出しそこに書かれている番号を見る，という試行を繰り返す．ただし，取り出したカードはもとに戻さない．この試行は，取り出したカードに書かれた番号の合計が$3$の倍数になるか，または$4$枚全部を取り出したときに終了する．取り出したカードに書かれた番号の合計が$3$の倍数になったとき，この試行は成功したとよぶ．$4$枚全部を取り出したとき，この試行は失敗したとよぶ．この試行の得点$X$は，成功したときは取り出したカードの枚数とし，失敗したときは$0$点とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　確率$P(X=1)$および$P(X=2)$を求めよ．

(2)　この試行が成功する確率を求めよ．また，得点の平均（期待値）$E(X)$を求めよ．

(3)　取り出したカードに書かれた番号の和が$6$となる確率を求めよ．さらに，取り出したカードに書かれた番号の和が$6$であることが分かっているとき，$X=3$である条件つき確率を求めよ．

【５-４】　確率変数$Z$が平均$0\text{，}$分散$1$の標準正規分布$N(0,1)$に従うとするとき，$P(Z>1.65)=0.05\text{，}$$P(Z>1.96)=0.025$であるとして，次の各問いに答えよ．

(1)　確率変数$X$は平均$65\text{，}$分散${20}^2$の正規分布$N(65,{20}^2)$に従うとする．確率$P(X>c)$が$0.05$となるような$c$を求めよ．

(2)　母平均$m\text{，}$母分散${20}^2$の母集団から大きさ$100$の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\bar{X}$とする．標本の大きさ$100$は十分大きい数であるとみなせるとする．このとき，$\bar{X}$が近似的に従う確率分布を答えよ．また，母平均$m$の信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を$\bar{X}$を用いて表せ．