2008　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

問１　次の方程式を解け．ただし，$i$は虚数単位，$x$は実数とする．

$(1+i)x^2-(1+3i)x-2+2i=0$

【１】　次の問に答えよ．

問２　次の方程式を解け．

${\log }_4(4x-7)+{\log }_{2}x=1+3{\log }_4(x-1)$

【１】　次の問に答えよ．

問３　$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(t,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1-t)$$\text{（}0<t<1\text{）}$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$は，$\tan A={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}$$\mathrm{BC}=6$を満たしているものとする．ただし，$A=\mathrm{\angle BAC}$とする．

問１　$\sin A$および$\cos A$の値をそれぞれ求めよ．

問２　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を求めよ．

問３　$\mathrm{▵ABC}$の面積の最大値と，そのときの辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 2a\\ a-3& a-4\end{array}\right)$は，$A^2=O$を満たす．ただし，$O$は零行列である．

問１　$a$の値を求めよ．

問２　$B=2E+A$とおく．ただし，$E$は単位行列である．自然数$n$に対して，$B^n$を求めよ．

【２】　$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される曲線を$C$とする．

問１　曲線$C$の凹凸を調べ，その概形を図示せよ．

問２　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(a,b)$$\text{（}0<a<1\text{）}$における接線$l$の$x$切片，$y$切片をそれぞれ$a$を用いて表せ．

問３　問２において点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$\mathrm{P}$における接線$l$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積の最大値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$n$個の点${\mathrm{P}}_k$$({\displaystyle \frac{k}{n}},2-{\displaystyle \frac{k}{n}},0)$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$をとる．また，$z$軸上に点${\mathrm{Q}}_k$を，線分${\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k$の長さが$2$になるようにとる．ただし，${\mathrm{Q}}_k$の$z$座標は正とする．

問１　三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}$の面積を求めよ．ただし，$1\leqq k\leqq n-1$とする．

問２　三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}{\mathrm{Q}}_k$の体積$V_k$を求めよ．ただし，$1\leqq k\leqq n-1$とする．

問３　$I=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{V}_k$とおくとき，$I$を定積分を用いて表せ．ただし，$V_0=0$とする．

問４　$I$の値を求めよ．

【４】　$r$を$9$以上の整数として，赤球$r$個と白球$10$個が入っている袋がある．この袋から$9$個の球を同時に取り出し，そのうちの赤球の個数を調べ，取り出した球に白球を$1$個加えて袋に戻すという試行を繰り返す．つまり，$1$回の試行ごとに袋の中の白球が$1$個ずつ増えることになる．$n$回目の試行において取り出された$9$個の球のうち，赤球がちょうど$4$個である確率を${\mathrm{P}}_n$で表す．

問１　$P_1<P_2$が成り立つことを示せ．

問２　$P_n<P_{n+1}$が成り立つための$n$の範囲を$r$を用いて表せ．

問３　$r=50$のとき，$P_n$が最大となる$n$の値を求めよ．