2008　青森公立大学　前期MathJax

【１】　$x+y+z=-4\text{，}$$xy+yz+zx=1\text{，}$$xyz=6$であるとき，次の式の値を求めよ．

問題１　${\displaystyle \frac{1}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{y^2}}+{\displaystyle \frac{1}{z^2}}$

問題２　$x^3+y^3+z^3$

問題３　$x^5+y^5+z^5$

問題４　${\displaystyle \frac{z}{x+y}}+{\displaystyle \frac{x}{y+z}}+{\displaystyle \frac{y}{z+x}}$

【２】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2-2(3-a)x$が以下の条件を同時に満たしているとき，$a$の存在する範囲を求めよ．ただし，$a$は正の実数とする．

条件$\text{①}$：$x\leqq 0$のとき，$f(x)\geqq 0$

条件$\text{②}$：$0\leqq x\leqq 4$のとき，$f(x)\geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$

【３】　放物線$y=x^2$上を自由に動く点$\mathrm{P}$と，点$\mathrm{A}$$(0,-2)$および点$\mathrm{B}$$(4,2)$を結んでできる三角形$\mathrm{PAB}$を考える．このとき，三角形$\mathrm{PAB}$の面積を最小にする点$\mathrm{P}$の座標およびその面積の最小値を求めよ．

【４】　半径$10\text{，}$中心角$60\mathrm{°}$の扇形$\mathrm{OAB}$を，図のような状態から始めて，直線$l$に接しながら滑らないよう右方向に一回転させる．このとき，以下の問題に答えよ．

問題１　扇形$\mathrm{OAB}$が塗りつぶす領域の面積を求めよ．

問題２　半径$\mathrm{OA}$と直線$l$が初めて垂直になるところから，半径$\mathrm{OB}$と直線$l$が初めて垂直になるまでの区間を考える．この区間において，半径$\mathrm{OA}$の中点$\mathrm{M}$の直線$l$からの高さが最大になるのはどのようなときか，理由を付して述べよ．また，そのときの最大値を求めよ．

【５】　$3$種類の機械$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が図のように並列に接続されたシステムがある．それぞれの機械が正常に動作する確率を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$として，以下の問題に答えよ．

問題１　機械$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$すべてが正常に動作すればシステム全体が正常に動作するよう設計した場合，このシステムが正常に動作する確率を求めよ．

問題２　機械$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$C のうち少なくとも$1$つが正常に動作すればシステム全体が正常に動作するよう設計した場合，このシステムが正常に動作する確率を求めよ．

問題３　_機械$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうち少なくとも$2$つが正常に動作すればシステム全体が正常に動作するよう設計した場合，このシステムが正常に動作する確率を求めよ．