2008　岩手県立大学　前期総合思考力試験IMathJax

【１】　Answer the integer part of square root of $97\text{．}$

注釈　integer：整数

square root：平方根

【４】　$\mathrm{XYZ}$ is a triangle whose vertices are the midpoints of the sides of triangle $\mathrm{ABC}\text{.}$When angle $\mathrm{\angle ABC}=40\mathrm{°}\text{,}$and angle $\mathrm{\angle YXZ}=60\mathrm{°}\text{,}$find the value of angle $\mathrm{\angle XZY}\text{.}$

注釈　vertices：vertex（頂点）の複数形

【５】$\text{「}2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{」}$の$4$つの数字をそれぞれ$1$回ずつ使用して，演算を行った結果を，ちょうど$10$にしたい．演算を四則演算，すなわち，$+\text{，}$$-\text{，}$$\times \text{，}$$÷$の$4$種類のみに限定したとき，ちょうど$10$になる式を$1$つ答えなさい．ただし$+\text{，}$$-\text{，}$$\times \text{，}$$÷$は何度使用してもよい．

【６】　The average age of a brother and his two sisters is $12$years. If the ages of the sisters are $9$and $12\text{,}$how old is the brother?

【７】　盛岡駅から同一方向に出発した列車$\mathrm{A}$と列車$\mathrm{B}$のうち，列車$\mathrm{A}$は盛岡駅から$200\mathrm{km}$離れた地点にいて，列車$\mathrm{B}$は列車$\mathrm{A}$より盛岡駅に$160\mathrm{km}$近い地点にいる．列車$\mathrm{A}\text{，}$列車$\mathrm{B}$どちらも常に時速$40\mathrm{km}$で走っており，駅や信号で停止しないとすると，列車$\mathrm{A}$の盛岡駅からの距離が列車$\mathrm{B}$の盛岡駅からの距離の$2$倍になるのは今から何時間後か答えなさい．

【９】　次の図は底面が半径$3\text{，}$高さが$4$の円錐と，半径$3$の半球を組み合わせた立体である．この立体の表面積を答えなさい．ただし，円周率は$\pi$とする．

【10】　箱の中に$2$つの赤球，$3$つの白球，$4$つの黒球がある．$\mathrm{A}$さんが箱の中から$1$つを取り出し，それから$\mathrm{B}$さんが残った球から$1$つを取り出す．$\mathrm{A}$さんが黒球を取り出し，かつ，$\mathrm{B}$さんが白球を取り出す確率を分数で答えなさい．

【13】　$256\mathrm{MB}$（メガバイト）と$512\mathrm{MB}$の記憶容量をもつメモリが売られている．$1$個の値段は，$256\mathrm{MB}$のメモリが$2000$円，$512\mathrm{MB}$のメモリが$3000$円である．これらを合わせて$20$個購入し，記憶容量の合計が$8\mathrm{GB}$（ギガバイト）以上，代金は$52000$円以下になるようにしたい．このとき，$256\mathrm{MB}$のメモリと$512\mathrm{MB}$のメモリの購入個数をそれぞれ答えなさい．ここで，$\mathrm{MB}$および$\mathrm{GB}$とは記憶容量の大きさを表す単位であり，$1\mathrm{GB}=1000\mathrm{MB}$とする．

【14】　$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{E}$の$5$人が横一列に並んでいる．このときあなたから見て次のことがわかっている．

(1)　$\mathrm{A}$は右から$2$番目．

(2)　$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}$の左側にいる．

(3)　$\mathrm{C}$と$\mathrm{E}$は隣に座っている．

　$\mathrm{D}$はあなたから見て右から何番目にいるか答えなさい．

【15】　Let $x$be the number associated with$\text{.}$ What is the number obtained by multiplying five and $x$?

one-two-three-$$-five-six-seven-eight-nine-ten

【16,17】　以下の$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$中には，四則演算記号$+\text{，}$$-\text{，}$$\times \text{，}$$÷$のいずれかが$1$つずつ入る．それぞれ何を入れれば良いか答えなさい．

16　$(6\text{ア}2)\times (9\text{イ}2)=21$

17　$7\text{ウ}3\text{エ}5=-8$

【19】　$\mathrm{A}$社長，$\mathrm{B}$部長，$\mathrm{C}$社員の$3$人からなる会社がある．ある年の利益が$1$億円であったので，それぞれ$\mathrm{A}$社長が$5000$万円，$\mathrm{B}$部長が$3000$万円，$\mathrm{C}$社員が$\mathrm{2000}$万円をもらった．次の年は利益が$2$億$6000$万円に増えた．前の年と同じ比率で利益を分配する場合，$\mathrm{B}$部長はいくらもらえるか答えなさい．

【20】　$10$枚の日本円の硬貨があり，その合計金額は$1354$円である．$500$円，$100$円，$50$円，$10$円，$5$円，$1$円それぞれの種類の硬貨がそれぞれ何枚あるか，答えなさい．

【21】　スポーツ大会$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がある．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はそれぞれ$4$年毎に開催され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が開催される間隔は$2$年間である．$\mathrm{C}$は奇数年，$\mathrm{D}$は偶数年に開催される．$2008$年に$\mathrm{A}$が開催されたとき，$2008$年から$2020$年までの$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$それぞれの開催回数を答えなさい．

【22】　$3$枚の硬貨を同時に投げて，表の出た硬貨の枚数が$3\text{，}$$2\text{，}$$1\text{，}$$0$のときそれぞれ得点$10\text{，}$$5\text{，}$$1，$$0$を得るとする．このときの得点の期待値を答えなさい．ただし，$3$枚の硬貨はいずれも表，裏が同確率で出るものとする．

【23】　$▵$と$\square$の記号を用いて，その演算規則を次のように決める．

$A\square B=A÷B+B$

このとき，次の演算結果を答えなさい．

$(40▵4)\square (21\square 7)$

【24】　The values of $S$and corresponding $T$are as shown in the following table. Write an equation that gives the relationship between $S$and $T\text{．}$

【25】　A class has $80$students. $40$students are taking Mathematics A course,$22$students are taking Mathematics B course and $10$students are taking both Mathematics A course and B course. How many students are neither taking Mathematics A nor B?

【26】　A total of $70$pens are sold．$20\mathrm{\%}$of the first $10$pens sold are black. $30\mathrm{\%}$of the next $30$pens sold are black. $90\mathrm{\%}$of the next $30$pens sold are black. What percentage of the total pens sold are black?

【27】　次の問題の解答文ア〜キを適切な順番に並べ替えなさい．解答は例えば「ア─イ─ウ─エ─オ─カ─キ」のように記号で答えなさい．

問題：ある整数は，$7$で割ると$5$余り，$11$で割ると$4$余り，$13$で割ると$9$余る．この整数として考えられる最も小さい正の整数はいくつか．

ア：題意より，$N=7n+5=11m+4=13k+9$が成り立つ．（ただし，$n\text{，}$$m\text{，}$$k$は整数）

イ：この式より， $3N-1$は$7\text{，}$$11\text{，}$$13$のいずれでも割り切れる．

ウ：すべてを$3$倍すると$3N=7\times 3n+7\times 2+1$$=11\times 3m+11+1$$=13\times 3k+13+13\times 2+1$となる．

エ：すなわち，$3N-1=7\times 11\times 13\times p$となる．（ただし，$p$は整数）

オ：求める整数を$N$とする．

カ：$N=(7\times 11\times 13\times 1+1)÷3$となり，$N=334$である．

キ：よって，$p=1$のとき$N$は，題意を満たす最小の正の整数となる．

【28】　右の図のように，ある大きさのドーナツ状の図の内円に接するように直線を引いたところ，直線の長さが$20\mathrm{cm}$であった．

　このときの$2$つの円にはさまれた，灰色のドーナツ部分の面積を答えなさい．ただし，円周率は$\pi$とする．

【29】　右の加算で，構成している文字はそれぞれ異なる数字$\text{（}0\text{〜}$$9\text{）}$を表している．文字$\mathrm{N}$と文字$\mathrm{O}$にあてはまる数字をそれぞれ答えなさい．

　ただし，$\mathrm{R}=7\text{，}$$\mathrm{X}=4$はわかっているものとする．

【30】　濃さ，重量ともに等しい食塩水が入った$2$つの容器$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$には，$14\mathrm{g}$の水を，$\mathrm{B}$には$28\mathrm{g}$の水を入れて薄めたところ，$\mathrm{A}$の食塩水$28\mathrm{g}$中の食塩の重量と，$\mathrm{B}$の食塩水$30\mathrm{g}$中の食塩の重量が等しくなった．最初の$2$つの容器の食塩水の重量を答えなさい．

【31】　右の表は，縦横斜めの$3$つの数字の積が全て等しくなるように異なる自然数を並べたものである．右の表の$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{F}$の値をそれぞれ答えなさい．

【32】　右の図のように，一辺の長さが$4$の正方形$\mathrm{ABCD}$が正方形$\mathrm{EFGH}$に点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}$で接している．このときの正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を答えなさい．

【33】　定価$900$円の商品がある．この定価は，仕入れ価格の$2$割増に設定されている．また，この商品は，$200$個まとめて仕入れると，仕入れ価格が$1$割引になる．ただし，売れ残っても返品をすることはできない．

　さて，この商品を$200$個仕入れ，$1$個$900$円の定価で売った．ところが，売れ行きが悪かったので，途中で割引販売を始め，$1$割引で売ることにした．すると，最終的に$170$個が売れて，売上げ価格から仕入れ金額を引いた利益は$9900$円となった．

　このとき，定価で売ることができた商品は何個だったか答えなさい．

【34】　$1$個のサイコロを$3$回投げるとする．$3$つの出た目の積が$75$になる確率を答えなさい．ただし，サイコロは正六面体で，出る目に片寄りがないものとする．

【36】　$4$から$9$までのそれぞれの数字が$1$つずつ書いてある$6$枚のカードがある．これから$3$枚を選んでそれを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人に見せたところ次のように述べた．

$\mathrm{A}$：$\text{「}3$枚のうち$2$枚が奇数である．」

$\text{「}3$枚の中に$8$はない．」

B：$\text{「}5$がある．」

$\text{「}6$がある．」

　$\mathrm{A}$が述べている$2$つの発言のうちどちらか一方は正しく，もう一方は間違っており，$\mathrm{B}$についても同様であるとき，これらの条件を満たすカードの組合せは何通りあるか答えなさい．

【37】　右図のように，同じ大きさの小立方体を$27$個積み重ね，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る平面および，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{G}$を通る平面で切ったとする．このとき，切り取られていない完全な形をした小立方体はいくつあるか答えなさい．

【38】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$はある全体集合の部分集合である．このとき$\text{「}\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\text{」}$を和集合の記号を使わずに，共通部分の記号$\cap$と補集合の記号$\overline{\phantom{\mathrm{A}}}$を用いた式で表すとき，その式を答えなさい．

【40】　I am a three digit number. I am less than $987\text{.}$I am greater than $500\text{.}$All my digits are odd. If you take my three digits and add them, it will be $7\text{.}$What number am I?

注釈　digit：桁

odd：奇数

【41】　半径$r$の円に内接する六角形の面積は，同じ円に内接する正三角形の面積の何倍であるか答えなさい．

【42,43】　For the quadratic function $y=2x^2-4x\text{.}$

注釈　quadratic：二次の

42　Find all the values of $x$for which $y$is minimum.

43　Find all the values of $x$for which $y$is zero.

【44,45】　右の図のように，扇形と三角形を組み合わせた図形$\mathrm{ABCDEF}$があり，$\mathrm{\angle A}{\mathrm{O}}_1\mathrm{B}$$=\mathrm{\angle B}{\mathrm{O}}_2\mathrm{C}$$=\mathrm{\angle F}{\mathrm{O}}_1\mathrm{E}$$=\mathrm{\angle E}{\mathrm{O}}_2\mathrm{D}$$=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{A}{\mathrm{O}}_1=2$である．

44　$\mathrm{ABCDEF}$の周囲長を答えなさい．ただし，円周率は$\pi$とする．

45　$\mathrm{ABCDEF}$の面積を答えなさい．ただし，円周率は$\pi$とする．

【46】　次の実数$x$に関する命題の必要条件と対偶を答えなさい．

$x=3⟹x^2=9$

【47】　成人男性と成人女性と未成年，合わせて$31$人がパーティーに参加した．成人男性と成人女性の数の差は$4$人以下であった．参加費用は一人につき成人男性が$1$万円，成人女性が$8$千円，未成年が$5$千円であった．合計の参加費用が$25$万円のとき，成人男性，成人女性，未成年はそれぞれ何人参加したか答えなさい．

【48】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$つの角の大きさを$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$それらの各対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a\sin B=b\sin C=2c\sin A$であるとき，各辺の関係を答えなさい．

【49】　頂点を$(-1,-1)$とし，点$(1/3,1)$を通る下に凸の二次関数がある．$-2\leqq x\leqq 3$のとき，$y$の最大値と最小値を答えなさい．

【50】　Let $A$be $(x^2-1)(x^2-3x+2)$and $B$be $(x^2-2x+1)(x+1)\text{.}$Find the greatest common divisors of $A$and $B$when $x=3$and when $x=4\text{．}$

注釈　divisor：約数

integer：整数