2008　首都大学東京　前期MathJax

【１】　$\mathrm{CUP@TMU}$の$7$文字全部を横$1$列に並べるとき，以下の問いに答えなさい．答えのみでなく，理由も述べなさい．

(1)　作られるすべての並べ方の数を求めなさい．

(2)　$\mathrm{@}$が真ん中にくる並べ方の数を求めなさい．

(3)　$\mathrm{U}$が$2$つとも左から偶数番目にくる並べ方の数を求めなさい．

(4)　$\mathrm{U}$がとなり合わない並べ方の数を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の方程式を解きなさい．

${\log }_{2}x-{\log }_{8}x=2({\log }_{2}x)({\log }_{4}x)$

(2)　次の方程式を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めなさい．

${\log }_{10}x+{\log }_{10}y={\log }_{10}(y+2x^2+1)$

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$0<t<1$に対して，線分$\mathrm{OM}$を$t^2:(1-t^2)$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OA}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{B}$から三角形$\mathrm{OAM}$を含む平面に下ろした垂線の長さを求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ODE}$の面積を求めなさい．

(3)　$t$が与えられた範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BODE}$の体積$V(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めなさい．

【４】　実数$a\text{，}b$に対して，$f(x)=(a+8b)x^2-8bx+b$とする．「$0\leqq x\leqq 1$ならば$f(x)>0$」が成り立つ点$(a,b)$の範囲を求め，$ab$平面上に図示しなさい．

【１】　$n$を自然数とするとき，$1$から$2n$までの相異なる自然数が$1$つずつ書かれた$2n$個の玉が袋の中に入っている．袋から$1$個の玉を取り出したときに書かれている数を$a$とする．この玉を袋に戻さずに，再び袋から$1$個の玉を取り出したときに書かれている数を$b$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$2a=b$または$a=2b$となる確率を求めなさい．

(2)　$a\geqq b$となる確率を求めなさい．

(3)　$2a\geqq b$となる確率を求めなさい．

【２】　座標平面上に点$\mathrm{A}(1,0)$をとる．$0\leqq t\leqq 2\pi$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$2$以上の自然数$n$に対して，座標平面上に点${\mathrm{P}}_k(\cos {\displaystyle \frac{kt}{n}},\sin {\displaystyle \frac{kt}{n}})\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$をとるとき，三角形$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_n$の面積$S_k(t)$を求めなさい．ただし，$\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{P}}_k\text{，}{\mathrm{P}}_n$が三角形をつくらないときは$S_k(t)=0$とする．

(2)　次の極限値を求めなさい．

$f(t)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k(t)$

(3)　次の定積分の値を求めなさい．

$I={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}tf(t)dt$

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を漸化式

$a_1=3\sqrt{3}\text{，}{b}_1=1$

$a_{n+1}=4a_n+\sqrt{3}{b}_n\text{，}{b}_{n+1}=\sqrt{3}{a}_n+2b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　すべての自然数$n$に対して，次の式を満たす行列$A$を$1$つ求めなさい．

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$

(2)　数列$\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$を

$c_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{3}{a}_n+b_n)\text{，}{d}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(-a_n+\sqrt{3}{b}_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，すべての自然数$n$に対して，次の式を満たす行列$B$を$1$つ求めなさい．

$\left(\begin{array}{c}{c}_{n+1}\\ d_{n+1}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{c}_n\\ d_n\end{array}\right)$

(3)　数列$\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$の一般項$c_n\text{，}{d}_n$を求めなさい．

(4)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x+y=\pi$を満たす実数$x\text{，}y$に対して，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$\sin x+\sin y=4\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{y}{2}}$

(2)　$x+y+z=\pi$を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して，次の等式が成り立つことを示しなさい．

$\sin x+\sin y+\sin z=4\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{y}{2}}\cos {\displaystyle \frac{z}{2}}$

(3)　$x+y+z+w=\pi$を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$に対して，等式

$\sin x+\sin y+\sin z+\sin w=4\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{y}{2}}\cos {\displaystyle \frac{z}{2}}\cos {\displaystyle \frac{w}{2}}$

は必ずしも成り立たないことを示しなさい．

【２】　$a\text{，}b$を正の実数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　実数$t$に対して，直線$(a{e}^t)x+(b{e}^{-t})y=1$に原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の長さ$f(t)$を求めなさい．

(2)　次の定積分の値を求めなさい．

$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{{f(t)}^2}}dt$

(3)　$a\text{，}b$が条件$ab=1$を満たしながら動くとき，定積分$I$の最小値を求めなさい．

【３】　$N$個の数列$\{{a_N}^{(1)}\}\text{，}\cdots \text{，}\{{a_n}^{(N)}\}$はいずれも各項が$1$か$-1$のいずれかであり，次を満たすとする．

${a_{n+1}}^{(k)}=\{\begin{array}{ll}{a_n}^{(k+1)}& \text{（}{a_n}^{(k)}=1\text{のとき）}\\ {a_n}^{(k-1)}& \text{（}{a_n}^{(k)}=-1\text{のとき）}\end{array}\left(\begin{array}{l}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\\ n=1\text{，}2\text{，}\cdots \end{array}\right)$

ただし，${a_n}^{(0)}={a_n}^{(N)}\text{，}{a_n}^{(N+1)}={a_n}^{(1)}$と定める．$m$を$N$未満の自然数とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　${a_1}^{(1)}={a_1}^{(2)}=\cdots ={a_1}^{(m)}=1$ならば，${a_m}^{(1)}=1$であることを示しなさい．

(2)　${a_1}^{(1)}={a_1}^{(2)}=\cdots ={a_1}^{(m)}=1$かつ${a_1}^{(m+1)}=-1$ならば，${a_{m+1}}^{(1)}=-1$であることを示しなさい．

(3)　自然数$n$に対して，${a_n}^{(1)}\text{，}{a_n}^{(2)}\text{，}\cdots \text{，}{a_n}^{(N)}$のうちで$1$であるものの個数を$b_n$とするとき，$b_{n+1}=b_n$であることを示しなさい．