2008　名古屋市立大　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　整式$f\left(x\right)$を$2x^2+x-1$で割ると$2x+1$余り，$x^2-2x+1$で割ると$4x-5$余る．$f\left(x\right)$を$2x^3-x^2-2x+1$で割った余りを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x+y=8\text{，}x>0\text{，}y>0$のとき，${\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_{\frac{1}{2}}y$の最小値とそのときの$x$と$y$の値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$5:14$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$15:4$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$および$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QA}$の長さが等しくなることを示せ．

【３】　同じ長さの赤と白の棒を$6$本使って正四面体を作る．ただし，各辺が赤である確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$白である確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　赤い辺の本数が$3$である確率を求めよ．

(2)　$1$つの頂点から出る赤い辺の本数の期待値を求めよ．

(3)　赤い辺で囲まれる面が$1$つである確率を求めよ．

【４】　正の数$x$に対して，三辺の長さが$\mathrm{AB}=x+1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{x^2+x+1}\text{，}\mathrm{CA}=k\sqrt{x}$で与えられる三角形$\mathrm{ABC}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$x=2$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　任意の正の数$t$に対して不等式

$\sqrt{t}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}+\sqrt{t+{\displaystyle \frac{1}{t}}+1}\geqq 2+\sqrt{3}\text{①}$

および

$\sqrt{t}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}-\sqrt{t+{\displaystyle \frac{1}{t}}+1}\leqq 2-\sqrt{3}\text{②}$

が成立することを示せ．ただし，$\text{②}$を証明する際に$\text{①}$を利用してよい．

(3)　(2)の結果を利用して，任意の正の数$x$に対して三角形$\mathrm{ABC}$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

【１】　$f(x)=\sin 2x+2\text{，}g(x)=a\sin x+b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の$x=\pi$における接線が一致するとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　(1)のとき，$g(x)\leqq y\leqq f(x)\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq \pi$で定められる図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$の比に分ける点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{AQ}$を$s:(1-s)$の比に分ける点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と$s\text{，}t$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\mathrm{ABC}$と垂直になるとき，$s\text{，}t$の値を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{D}$の$3$文字をこの順序に繰り返し並べ，次のように$n$番目が$n$個の文字からなる文字列群(A)を作る．

(A)　$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{ME}\text{，}\mathrm{MED}\text{，}\mathrm{MEDM}\text{，}\mathrm{MEDME}\text{，}\mathrm{MEDMED}\text{，}\cdots$

　次に，文字列群(A)を連続して並べた文字列群(B)を作る．

(B)　$\mathrm{MMEMEDMEDMMEDMEMEDMED}\cdots$

　次の問いに答えよ．

(1)　文字列(B)の$758$番目の文字は，文字列群(A)において，何番目の文字列の何番目の文字であるか．またその文字は，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{D}$のどれか．

(2)　文字列(B)の最初から$758$番目の文字までに現れる$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{D}$のそれぞれの個数を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

　ただし，右の表を必要に応じて使用してよい．

(1)　$\mathrm{A}$国の人口は現在$1$億人であるが，今後$5$年間は年$2\%$の減少，それ以降は年$1\%$の減少が見込まれている．$\mathrm{A}$国の人口がはじめて$6000$万人未満になるのは何年後と考えられるか．自然数で答えよ．

(2)(a)　${99}^{100}$と${100}^{99}$の大小を比較せよ．

(b)　${999}^{1000}$と${1000}^{999}$の大小を比較せよ．

【３】　$f(x)=\sin 2x+2\text{，}g(x)=a\sin x+b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の$x=\pi$における接線が一致するとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　(1)のとき，$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$と$2$つの直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}x=\pi$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}$の$3$文字をこの順序に繰り返し並べ，次のように$n$番目が$n$個の文字からなる文字列群(A)を作る．

(A)　$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{SD}\text{，}\mathrm{SDA}\text{，}\mathrm{SDAS}\text{，}\mathrm{SDASD}\text{，}\mathrm{SDASDA}\text{，}\cdots$

　次に，文字列群(A)を連続して並べた文字列群(B)を作る．

(B)　$\mathrm{SSDSDASDASSDASDSDASDA}\cdots$

　次の問いに答えよ．

(1)　文字列(A)の$1$番目から$10$番目までを連続して並べた文字列の文字数を求め，最後の文字は$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}$のどれかを示せ．

(2)　文字列(B)の$758$番目の文字は，文字列群(A)において，何番目の文字列の何番目の文字であるかを求めよ．また，その文字は$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}$のどれかを示せ．

(3)　文字列(B)の最初から$758$番目の文字までに現れる$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{A}$のそれぞれの個数を求めよ．