2008　名古屋市立大　後期経済学部

【１】　$xy$平面で不等式$y\geqq 2x^2\text{，}y\leqq x^2-4x+5$が表す領域を$D$とする．$\mathrm{P}(-1,2)\text{，}\mathrm{R}(a,a^2-4a+5)$とし，$x$軸，$y$軸と平行な辺で囲まれた長方形$\mathrm{PQRS}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　長方形$\mathrm{PQRS}$が正方形になるときの$a$の値を求めよ．

(2)　長方形$\mathrm{PQRS}$が$D$に含まれるとき，長方形$\mathrm{PQRS}$の面積が最大になる$a$の値とその面積を求めよ．

【２】　$xyz$空間で原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$の座標を$(3,1,5)\text{，}(2,-1,-1)$とする．実数$s\text{，}t$に対して，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{l}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{m}$を満たす動点とする．ただし，$\overrightarrow{l}=(2,1,-1)\text{，}\overrightarrow{l}=(1,2,3)$である．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{n}=(1,a,b)$が$\overrightarrow{l}$と$\overrightarrow{m}$の両方に垂直であるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　(1)の条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{n}$が平行であるとき，$s\text{，}t$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=0\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n}{2}}$（$n$は自然数）

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n$で定めるとき，$b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$xy$平面上の点列${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$の座標をそれぞれ$(a_1,0)\text{，}(a_2,0)\text{，}(a_3,0)\text{，}\cdots$と定める．放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{6^{10}}}$と$x$軸との$2$つの交点がともに線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n-1}$上に存在する最大の$n$を求めよ．ただし${\log }_{2}3=1.58$ とする．

【４】　袋の中に赤玉が$3$個，白玉が$7$個入っている．この袋から玉を$1$つずつ最大$3$個まで取り出し続けるが，赤玉が出た時点でやめる．ただし玉は袋に戻さないものとする．次の問いに答えよ．

(1)　取り出した玉の中に赤玉が含まれる確率を求めよ．

(2)　取り出した玉の個数の期待値を求めよ．

(3)　玉を$1$つ取り出すたびに$300$円支払い，もし赤玉が出たら$1000$円もらえるものとする．玉を取り出し終えたときの収支金額の期待値を求めよ．