2008　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　$xy$平面上に$2$つの曲線

$C_1:y={(x\sin x)}^2{C}_2:y=x^2$

がある．次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<2\pi$の範囲において，$C_1\text{，}{C}_2$は異なる$2$点で接することを示せ．

(2)　(1)で求めた$2$つの接点の間で，$C_1\text{，}{C}_2$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を通る平面を$\alpha$とする．この平面$\alpha$に関して原点と同じ側にあり，$x\geqq 0\text{，}z\geqq 0\text{，}{x}^2+y^2\leqq r^2$を満たす点からなる立体を$Q$とする．ただし，$0<r<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　立体$Q$を平面$x=t\text{（}0\leqq t\leqq r\text{）}$で切った切口の面積を$t$で表せ．

(2)　立体$Q$の体積を求めよ．

【３】　数直線上に動点$\mathrm{A}$がある．$\mathrm{A}$はコインを$1$枚投げて，表が出たら$+1$だけ移動し，裏が出たら$-1$だけ移動する．はじめ原点$\mathrm{O}$にある$\mathrm{A}$に対して，この試行を繰り返し行うとき，次の問いに答えよ．

(1)　$N$回試行の後，点$\mathrm{A}$が原点$\mathrm{O}$にある確率を$P(N)$とする．$P(N)<{\displaystyle \frac{1}{4}}$であるための$N$についての条件を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とする．${(1+x)}^{2n}={(1+x)}^n{(1+x)}^n$の$x^n$の係数を比較することにより，

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{({}_{n}C_k)}^2={}_{2n}C_n$

を証明せよ．

(3)　数直線上にもう$1$つの動点$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{B}$は別のコインを使って上記の規則に従って，$\mathrm{A}$と同時に数直線上を移動する．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ともに，はじめ原点にあるとき，$N$回目の試行の後，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同じ位置にある確率を求めよ．