2008　青山学院大学　経済学部MathJax

【１】(1)　奇数の数列$1,3,5,\cdots$を，第$n$群が$n$個の奇数を含むように分ける．

$\{1\},\{3,5\},\{7,9,11\},\{13,15,17,19\},\cdots$

1．第$10$群の最初の数は$\text{アイ}$である．

2．第$8$群の数の和は$\text{ウエオ}$である．

3．$999$は第$\text{カキ}$群の第$\text{ク}$番目の数である．

【１】(2)　関数$f(x)=x^2-2$を用いて数列を次のように定める．まず$a_0=2$として$f(x)$の$x=a_0$における接線が$x$軸と交わる点を$a_1$とする．このとき$a_1={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．以下同様にして，$x=a_n$における$f(x)$の接線が$x$軸と交わる点を$a_{n+1}$とする．$f(x)$の$x=a_n$における接線の方程式は

$y=\text{ウ}{a}_{n}x-(\text{エ}{a}_n^2+\text{オ})$

と表される．これから，$a_{n+1}$は$a_n$を用いて$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}{a}_n+\text{ク}{a}_n^{-1}$と表される．特に$a_2={\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サシ}}}$である．

【１】(3)　$a$を実数とし，$2$次関数$y=x^2-(a+1)x+a^2+a$のグラフを$C$とする．

1．$C$の頂点の座標は$({\displaystyle \frac{a+\text{ア}}{\text{イ}}},{\displaystyle \frac{\text{ウ}{a}^2+\text{エ}a-1}{\text{オ}}})$である．

2．$C$を$x$軸の方向に$1\text{，}$$y$軸の方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式は$y=x^2-(a+\text{カ})x$$+a^2+\text{キ}a+\text{ク}$である．

3．$C$が$x$軸の$0<x<1$の部分と異なる$2$点で交わるための$a$の値の範囲は$\text{ケ}<a<{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

【２】(1)　赤，青，白の$3$個のサイコロを投げたとき，可能な結果は全部で$\text{アイウ}$通りあり，このうち赤と青の目が等しい場合は$\text{エオ}$通り，赤と青の合計が白の目より小さい場合は$\text{カキ}$通りある．

【２】(2)　サイコロを投げて，$1$または$6$の目が出たら勝ちというゲームがある．このとき$3$回投げて$1$勝$2$敗となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$2$勝$1$敗となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\text{，}$$3$回目に初めて勝つ確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カキ}}}$である．

　また，勝ちまたは負けが$3$回になるまでゲームを続けるとき，$4$回目で終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{クケ}}{\text{コサ}}}\text{，}$$4$回でも終らない確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{スセ}}}$である．

【２】(3)　$2$次方程式$x^2-px+2p=0$が整数解$\alpha \text{，}$$\beta$を持つとき，解と係数の関係から，$\alpha$と$\beta$には$\alpha \beta -\text{ア}\alpha -\text{イ}\beta =0$という関係が成り立つ．この式を満たす$\alpha \text{，}$$\beta$の組合せ（ただし，$\alpha \leqq \beta \text{）}$は$\text{ウ}$通りある．このうち$p$を最大にする組合せは$\alpha =\text{エ}\text{，}$$\beta =\text{オ}$であり，そのとき$p=\text{カ}$となる．

【２】(4)　$2$次方程式$x^2+qx+q^2=4$の解がいずれも整数であるとき，$q$のとりうる値は，小さい順に$\text{アイ}\text{，}$$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}$である．

【２】(5)　関数$f(\theta )=a\sin \theta +b\cos \theta$は$\theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき最大値$2$をとる．ただし$0\leqq \theta <2\pi$とする．

　このとき$a=\sqrt{\text{ア}}\text{，}$$b=\text{イウ}$である．

　また$f(\theta )$は$\theta ={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\pi$のとき最小値$\text{カキ}$をとる．

【３】(1)　空間に$3$点$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$がある．

　このとき，原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{H}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウエ}}},{\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キク}}},{\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サシ}}})$

である．

　また，原点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とすると，線分$\mathrm{OR}$の長さは

${\displaystyle \frac{\text{ス}\sqrt{\text{セソ}}}{\text{タチ}}}$

である．

【３】(2)　半径$1$の円に内接する正$6$角形の面積は${\displaystyle \frac{\text{ア}\sqrt{\text{イ}}}{\text{ウ}}}$である．また半径$1$の円に内接する正$12$角形の$1$辺の長さを$l$とするとき

$l^2=\text{エ}-\sqrt{\text{オ}}\text{，}$$l={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カ}}}{2}}(\sqrt{\text{キ}}-\text{ク})$

である．

【３】(3)　$z={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}i}{2}}\text{，}$$w={\displaystyle \frac{5-i}{2-3i}}$とするとき，$z^{11}={\displaystyle \frac{\text{ア}+\sqrt{\text{イ}}i}{2}}\text{，}$$z^{2000}={\displaystyle \frac{\text{ウエ}-\sqrt{\text{オ}}i}{2}}\text{，}$$w^7=\text{カ}-\text{キ}i$である．

【４】　$2$次関数$f(x)=-x^2$や対数関数$f(x)={\log }_{2}x$などの関数は$x_1\ne x_2$のとき

$f\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\right)>{\displaystyle \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}}$

という関係を満たす．この関係を用いて以下の性質を示せ．ただし，以下ではすべて$x_1\ne x_2$とする．

(1)　$f({\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_1+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}_2)>{\displaystyle \frac{1}{4}}f(x_1)+{\displaystyle \frac{3}{4}}f(x_2)$

ヒント：${\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_1+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\left({\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_2$

(2)　$f({\displaystyle \frac{1}{8}}{x}_1+{\displaystyle \frac{7}{8}}{x}_2)>{\displaystyle \frac{1}{8}}f(x_1)+{\displaystyle \frac{7}{8}}f(x_2)$

(3)　$f({\displaystyle \frac{3}{8}}{x}_1+{\displaystyle \frac{5}{8}}{x}_2)>{\displaystyle \frac{3}{8}}f(x_1)+{\displaystyle \frac{5}{8}}f(x_2)$

(4)　任意の正の整数$k$と$2^k$より小さな正の整数$m$に対して，$w_1={\displaystyle \frac{m}{2^k}}\text{，}$$w_2=1-w_1$（このとき$w_1>0\text{，}$$w_2>0$である）とおくとき，

$f(w_1{x}_1+w_2{x}_2)>w_{1}f(x_1)+w_{2}f(x_2)$

ヒント：$k$に関する数学的帰納法を用いよ．