2008　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{ノ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(1)(ⅰ)　$x^5-1$を$x^2-1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅱ)　${(x^5-1)}^3$を$x^2-1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{ノ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$|\overrightarrow{a}|=3\text{，}$$|\overrightarrow{b}|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$のとき

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(ⅱ)　$▵\mathrm{OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{ノ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(3)　大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるときの目をそれぞれ$x\text{，}y\text{，}z$とする．

(ⅰ)　$x+y+z\geqq 8$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサシ}}}{\boxed{\text{スセソ}}}}$である．

(ⅱ)　$3x+2y+z$の期待値は$\boxed{\text{タチ}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{ノ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(4)　次の等式を満たす関数$f(x)$は，$x=1$で最小値をとり，$f(3)=7$である．

${\displaystyle {\int }_0^x}\{f(t)+9t\}dt=x^3+a{x}^2-bx\text{（}a\text{，}b\text{は定数）}$

　このとき，$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}b$の値は$\boxed{\text{ト}}$である．

【１】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{ノ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

(5)　$x$についての$2$次方程式$8x^2-4x-a=0$（$a$は定数）の$2$つの解は$\sin \theta \text{，}\cos \theta$である．このとき，$a$の値は$\boxed{\text{ナ}}$であり，${\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta +1}{\cos \theta }+\frac{{\cos }^2\theta +1}{\sin \theta }}$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニヌネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【２】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{サ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$xy$平面において，$\mathrm{O}$は原点，$\mathrm{P}$は曲線$x^2+y^2=4\text{（}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{）}$上を点$(2,0)$から点$(0,2)$まで動く点とする．$\mathrm{OP}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$を通り$\mathrm{OP}$に垂直な直線と放物線$y=x^2-{\displaystyle \frac{13}{3}}$との交点で，$x$座標が正の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}$の$x$座標のとりうる値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\leqq x\leqq \sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積が最小となるときの$\mathrm{Q}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エオカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$であり，このときの$▵\mathrm{OPQ}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{クケコ}}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．

【３】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{キ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$xy$平面において，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}{\log }_3\sqrt{-2x+6}-{\log }_9|2y|>{\log }_{\frac{1}{9}}(x+2)\cdots \text{①}\\ 2^{x-2}<4^y\cdots \text{②}\end{array}$

(1)　$\text{①}$を変形すると，$|y|<-\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　領域$D$に含まれる点$(x,y)$のうち，$x\text{，}y$がともに整数である点の個数は$\boxed{\text{エオ}}$個である．

(3)　(2)の点で，$\sqrt{3}x+y$の値を最大にする点の座標は$(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})$である．

【４】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{シ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$a_1=3\text{，}4a_{a+1}=12a_n-2\cdot 3^{n-1}n+3^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で表される数列$\{a_n\}$がある．

(1)　${\displaystyle \frac{a_n}{3^n}}=b_n$とおくとき，$b_{n+1}-b_n$を$n$の式で表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}n+\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(2)　$a_n$を$n$の式で表すと$-{\displaystyle \frac{3^{n-2}}{\boxed{\text{ク}}}}(n^2-\boxed{\text{ケ}}n-\boxed{\text{コサ}})$である．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおくとき，$S_n$を最大にする$n$の値の中で最も小さいものは$\boxed{\text{シ}}$である．

【５】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{シ}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で定義された$3$つの$\theta$の関数

• $f(\theta )=\cos 3\theta -2\cos 2\theta +\cos \theta$
• $g(\theta )=2\cos \theta +a\text{（}a\text{は定数）}$
• $h(\theta )=b\cos 2\theta +\cos \theta +2+b\text{（}b\text{は定数）}$

について

(1)　$f(\theta )=g(\theta )$を満たす$\theta$の個数が$2$個であるための$a$の値の範囲は$\boxed{\text{アイ}}\leqq a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

(2)　$f(\theta )=h(\theta )$を満たす$\theta$の個数が$3$個であるための$b$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\leqq b\leqq \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

【６】　以下の問の$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{ス}}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

　$xy$平面において，曲線$C$を$y=|x^2+2x-3|\text{，}$直線$l$を点$(-3,0)$を通る傾き$m$の直線とする．

(1)　$C$と$l$が点$(-3,0)$以外の異なる$2$点で交わるための$m$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<m<\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　(1)の$m$の値の範囲において，$C$と$l$で囲まれる図形の面積$S$を$m$の式で表すと$S=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}{m}^3+\boxed{\text{オ}}{m}^2-\boxed{\text{カ}}m+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(3)　(1)の$m$の値の範囲において，面積$S$が最小となるときの$m$の値は$m=\boxed{\text{コサ}}-\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．