2008　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】

(1)　$0<a<1$とする．$xy$平面上で

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}{\left({\displaystyle \frac{x}{a}}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left({\displaystyle \frac{y}{1-a}}\right)}^{\frac{1}{2}}\leqq 1$

により定められる部分$A$の面積は$\boxed{\text{(ア)}}$である．また空間内で$x$軸のまわりに$A$を$1$回転させてできる回転体の体積は$\boxed{\text{(イ)}}$である．この体積は$a=\boxed{\text{(ウ)}}$のときに最大となる．

【１】

(2)　$l$を実数とする．空間内の$2$点$\mathrm{P}(t,\cos t,-1)\text{，}\mathrm{Q}(t,0,1+\sin t)$を通る直線と$xy$平面との交点は$\mathrm{R}(t,\boxed{\text{(エ)}},0)$である．$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くときに点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする．$xy$平面上で，$x$軸，$y$軸と$C$とにより囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】

(1)　さいころを続けて$n$回投げるとき，$6$の約数の目が奇数回出る確率を$p(n)$とする．たとえば，$p(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}p(2)=\boxed{\text{(カ)}}$である．$n\geqq 2$のとき$p(n)$と$p(n-1)$の間には$p(n)=\boxed{\text{(キ)}}$という関係式が成り立つ．これより$n$を用いて$p(n)$をあらわすと$p(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ク)}}}{2}}$である．

(2)　さいころを続けて$100$回投げるとき，$1$の目がちょうど$k$回（$0\leqq k\leqq 100$）出る確率は${}_{100}C_k\times {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ケ)}}}{6^{100}}}$であり，この確率が最大になるのは$k=\boxed{\text{(コ)}}$のときである．

　次に，さいころを続けて$n$回投げるとき，$1$の目がちょうど$k$回（$0\leqq k\leqq n$）出る確率を考える．$n$を固定したとき，この確率を最大にするような$k$の値が$2$個存在するための必要十分条件は，$n$を$\boxed{\text{(サ)}}$で割ったときの余りが$\boxed{\text{(シ)}}$となることである．

【３】(1)　実数$a$を固定したとき，直線$y=ax+b$と曲線$y=x^2-2$が共有点を持つための切片$b$の条件を$a$を用いてあらわすと$b\geqq \boxed{\text{(ス)}}$である．

(2)　実数$a$を固定したとき，直線$y=ax+b$と曲線$y=|x^2-2|$が共有点を持つための切片$b$の条件は，$|a|\geqq \boxed{\text{(セ)}}$のとき$b\geqq \boxed{\text{(ス)}}$であり，$|a|<\boxed{\text{(セ)}}$のとき$b\geqq \boxed{\text{(ソ)}}$である．

　このように，$a$を固定したとき，直線$y=ax+b$と曲線$y=f(x)$が共有点を持つような$b$の最小値が存在することがある．この最小値の符号を換えたものを$f^{*}(a)$と書くことにする．たとえば$f(x)=x^2-2$ならば$f^{*}(a)=-(\boxed{\text{(ス)}})$である．

(3)　$f(x)=|x^2-2|$とする．$g(a)=f^{*}(a)$と定めて，$a$を変数$x$で書き換えた関数$g(x)$に対して$g^{*}(a)$を考える．$|a|\geqq \boxed{\text{(タ)}}$のとき$g^{*}(a)=\boxed{\text{(チ)}}$であり，$|a|<\boxed{\text{(タ)}}$のとき$g^{*}(a)=\boxed{\text{(ツ)}}$である．

【４】(1)　$t$を実数とする．座標平面内の$2$点$(0,1)\text{，}(t,0)$を結ぶ線分の垂直$2$等分線$l_t$の傾きは$\boxed{\text{(テ)}}$で，方程式は$y=\boxed{\text{(テ)}}x+\boxed{\text{(ト)}}$である．

　直線$l_t$に関して点$(1,1)$と対称な位置にある点を$\mathrm{P}(t)$とする．座標平面であらわすと，$\mathrm{P}(-1)$は$(-1,-1)\text{，}\mathrm{P}(0)$は$\boxed{\text{(ナ)}}\text{，}\mathrm{P}(1)$は$\boxed{\text{(ニ)}}$である．また$\mathrm{P}(t)$の座標を$t$を用いてあらわすと$(t-1+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ヌ)}}}{1+t^2}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ネ)}}}{1+t^2}})$である．$|t|\to \infty$のとき$\mathrm{P}\left(t\right)$は直線$y=\boxed{\text{(ノ)}}$に限りなく近づく．

(2)　$t$がすべての実数をとるときに$\mathrm{P}(t)$が描く曲線を$C$とする．点$\mathrm{P}(t)\text{（}t\ne 1\text{）}$における$C$の接線の傾きは，$t\to 1$のとき$\boxed{\text{(ハ)}}$に近づく．曲線$C$と直線$y=ax$が異なる$3$点で交わるための必要十分条件は$\boxed{\text{(ヒ)}}<a<\boxed{\text{(フ)}}$である．

【５】　$n$は正の整数とする．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^{\frac{1}{2}}=\boxed{\text{(ヘ)}}$である．

　以下で$p\text{，}q\text{，}r$は正の実数とする．$S_p(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^p$とおく．

(2)　すべての$n$に対し$S_3(n)={\displaystyle \frac{1}{4}}{n}^2{(n+1)}^2$であることを証明しなさい．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^r}}{S}_p(n)$が$0$でない有限の値になるのは，$r$と$p$の間に関係式$r=\boxed{\text{(ホ)}}$が成り立つときのみである．そのときの極限値を$p$を用いてあらわせば$\boxed{\text{(マ)}}$である．さらに$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^{p+1}}}{\{S_q(n)\}}^2$が$0$でない有限の値となるのは，$p$と$q$の間に関係式$p=\boxed{\text{(ミ)}}$が成り立つときに限る．

(4)　すべての$n$に対し$S_p(n)={\{S_q(n)\}}^2$が成り立つための必要十分条件は，$p=3$かつ$q=1$であることを証明しなさい．