2008　慶応義塾大学　商学部

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　ある年におけるある業種の企業の法人申告所得額を調べた．申告所得額が$x$万円以上である企業数の全体に対する割合を$y\%$とし，

$X={\log }_{10}x\text{，}Y={\log }_{10}y$

と定める．$X$と$Y$の関係を調査結果をもとに調べたところ，$4\leqq X\leqq 8$の範囲では，$Y$は$X$の$1$次関数で，

$X=4\text{のとき}Y=2\text{，}X=8\text{のとき}Y=-2$

と考えてよいことがわかった．このことに基づいて計算すると，申告所得額が$\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}$億$\boxed{\text{(3)}}$千万円以上である企業の割合は$8\%$と考えられる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　$2$つの$2$次関数$f(x)=2x^2-2x\text{，}g(x)=-x^2+x$を考える．$y=f(x)$のグラフを$F\text{，}y=g(x)$のグラフを$G$とし，$0<t<1$を満たす$t$に対する$G$上の点を$\mathrm{P}(t,g(t))$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{OP}$とグラフ$F$の$\mathrm{O}$以外の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OP}$とグラフ$G$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$と$2$つのグラフ$F\text{，}G$で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると，

$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}}}{t}^3\text{，}{S}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}}}}(t^3+\boxed{\text{(8)}}{t}^2-\boxed{\text{(9)}}t+\boxed{\text{(10)}})$

である．また，$S_1+S_2$が$0<t<1$の範囲で最小となるのは，

$t={\displaystyle \frac{-\boxed{\text{(11)}}+\boxed{\text{(12)}}\sqrt{\boxed{\text{(13)}}}}{\boxed{\text{(14)}}}}$

のときである．

【２】　空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の球面上に，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|=4$かつ$\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}\right|=3$を満たすように$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$をとる．また，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の内積は$\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の大きさは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}}}{\boxed{\text{(19)}}}}$である．

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$の内積は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{(20)}\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}}}}$である．

(ⅳ)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{M}$を通る直線を$l$とし，原点$\mathrm{O}$から$l$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\boxed{\text{(25)}\text{(26)}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}}}$

である．

【３】　$\{a_n\}$を初項$a_1$が$7$で公差が$3$の等差数列とし，$\{b_n\}$を初項$b_1$が$1$で公差が$5$の等差数列とする．$\mathrm{A}$を数列$\{a_n\}$の項として現れるすべての数の集合，$\mathrm{B}$を数列$\{b_n\}$の項として現れるすべての数の集合とし，$\mathrm{C}=\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$とする．$\{c_n\}$を$\mathrm{C}$の要素を重複を許さずに小さい順にならべて得られる数列として，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{c_n\}$の第$7$項$c_7$は$\boxed{\text{(29)}\text{(30)}}$で，第$11$項$c_{11}$は$\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^7}{c}_k=\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}$で，${\displaystyle \sum _{k=1}^{14}}{c}_k=\boxed{\text{(35)}\text{(36)}\text{(37)}}$である．

　一般に，$m$を正の整数としたとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{7m}}{c}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(38)}\text{(39)}\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}}{m}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}\text{(43)}}}{\boxed{\text{(44)}}}}m-\boxed{\text{(45)}}$

である．

(ⅲ)　数列$\{d_n\}$を，$d_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(c_{2k}-c_{2k-1})$と定める．このとき，数列$\{d_n\}$の第$77$項$d_{77}$は$\boxed{\text{(46)}\text{(47)}\text{(48)}}$で，第$80$項$d_{80}$は$\boxed{\text{(49)}\text{(50)}\text{(51)}}$である．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$種類の装置を用いて提供される新しいサービスについて考える．サービスの利用者は，装置$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のどちらか一方を保有する．また，$1$人が保有できる装置は$1$台のみとする．$1$回のサービスは，$2$人の装置保有者に対して同時に提供される（サービスの提供に関する具体的な定めは，下記の問いで与えられる）．またこのとき，$2$人ともサービスを$1$回利用したことになり，費用として$3$円ずつ課される．ただし，サービスを利用した$2$人が保有する装置が，一方が$\mathrm{A}$でもう一方が$\mathrm{B}$だった場合は，双方に対して追加費用$2$円が発生し，課される費用は$5$円ずつになる．装置$\mathrm{A}$を保有している人は$m$人，装置$\mathrm{B}$を保有している人は$n$人（ただし，$m\geqq 0\text{，}n\geqq 0\text{，}m+n>1$と仮定する）として，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　この問いにおいては，特に$m\geqq 1$の場合を考える．ある時点においてサービスが提供される$2$人は，装置$\mathrm{A}$のある特定の保有者$\mathrm{F}$さんと，$\mathrm{F}$さん以外のもう$1$人とする．ここで，もう$1$人は，装置$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の全ての保有者の集合から$\mathrm{F}$さんを除き，その中から，サービスセンターにおいて偶然によって定まり，どの保有者が選ばれるかは全て同様に確からしいとする．このサービスが$1$回提供されたときに$\mathrm{F}$さんに課される費用の期待値は，

$\boxed{\text{(52)}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(53)}}n}{m+n-\boxed{\text{(54)}}}}$円

である．

(ⅱ)　この問いにおいては，$m\geqq 0$の一般的な場合を考える．ある時点においてサービスを提供される$2$人は，装置$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$の全ての保有者の中から，サービスセンターにおいて偶然によって定まり，どの$2$人が選ばれるかは全て同様に確からしいとする．このサービスが$1$回提供されたときにサービスを利用した$2$人に課される費用の和の期待値を$E$とする．$N=m+n\text{，}p={\displaystyle \frac{m}{N}}$として，$E$を$N$と$p$を用いて表すと，

$E=\boxed{\text{(55)}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(56)}}N}{N-\boxed{\text{(57)}}}}p(\boxed{\text{(58)}}-p)$(円)

となる．最後に，$N$は一定としたときに，$E$が最小値をとるのはどのような場合かを記せ（最小値も記すこと）．

$\boxed{\text{(ア)}}$