2008　上智大学　地球法，英語，心理学科2月6日実施MathJax

【１】

(1)　$0\leqq x\leqq \pi$のとき，方程式$\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}=\cos (2x+{\displaystyle \frac{2\pi }{5}})$の解は$\boxed{\text{ア}}$個あり，そのうち最小のものは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi$である．

【１】

(2)　$x>1\text{，}y>1\text{，}z>1\text{，}{x}^6=y^3=z^2$ならば

${\log }_x{\displaystyle \frac{z}{y}}+{\log }_y{\displaystyle \frac{x}{z}}+{\log }_z{\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$

である．

【１】

(3)　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\angle \mathrm{A}=36°$とする．$\angle \mathrm{B}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とすれば，$\mathrm{BD}=\boxed{\text{カ}}$である．これより

$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キ}}}}(\sqrt{\boxed{\text{ク}}}+\boxed{\text{ケ}})$

$\sin 18°={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{コ}}}}(\sqrt{\boxed{\text{サ}}}+\boxed{\text{シ}})$

である．

【１】

(4)　$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{CP}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{ABR}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

【２】　座標平面上の放物線$C:y=x^2$を考える．

(1)　傾きが$\sqrt{3}$である$C$の接線を$l_1$とする．このとき，$l_1$の方程式は

$y=\sqrt{3}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

(2)　$C$の接線$l_2$は傾きが負であり，$l_1$と$45°$の角をなす．このとき，$l_2$の方程式は

$y=(\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ト}})x+\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

である．$l_1\text{，}{l}_2$の交点は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}+\frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}})$

である．

(3)　$C$と$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}}{\boxed{\text{ム}}}+\frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$である．

【３】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の中の異なる$4$つの数字を並べてつくられた$4$桁の整数$a_1{a}_2{a}_3{a}_4$を考える．このような$4$桁の整数$a_1{a}_2{a}_3{a}_4$に対して，$a_1+a_2\text{，}{a}_2+a_3\text{，}{a}_3+a_4$のうち最大のものを$M$とする．例えば，$4$桁の整数$1304$に対しては，$a_1+a_2=4\text{，}{a}_2+a_3=3\text{，}{a}_3+a_4=4$なので$M=4$である．

(1)　上のような$4$桁の整数$a_1{a}_2{a}_3{a}_4$は全部で$\boxed{\text{ヤ}}$個あり，このうち偶数は$\boxed{\text{ユ}}$個，$3$の倍数は$\boxed{\text{ヨ}}$個ある．

(2)　$M$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{ラ}}\leqq M\leqq \boxed{\text{リ}}$である．上のような$4$桁の整数のうちで，$M=\boxed{\text{ラ}}$となるものは$\boxed{\text{ル}}$個， $M=\boxed{\text{リ}}$となるものは$\boxed{\text{レ}}$個，$M=5$となるものは$\boxed{\text{ロ}}$個ある．