2008　上智大学　経済(経済)学部2月12日実施MathJax

【１】

(1)　次の連立方程式を考える．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+3xy=11\\ x+y-xy=9\end{array}$

　$x+y\text{，}xy$の値を求めると

$x+y=\boxed{\text{ア}}\text{，}xy=\boxed{\text{イ}}$あるいは

$x+y=\boxed{\text{ウ}}\text{，}xy=\boxed{\text{エ}}$

である．ここで$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．$x<y$を満たす解は

$x=\boxed{\text{オ}}\text{，}y=\boxed{\text{カ}}$と$x=\boxed{\text{キ}}\text{，}y=\boxed{\text{ク}}$

である．ここで$\boxed{\text{オ}}<\boxed{\text{キ}}$とする．

【１】

(2)　サイコロを$3$回投げる．最初に出た目を$a_1\text{，}$次に出た目を$a_2\text{，}3$回目に出た目を$a_3$とする．

　$a_1+a_2=2a_3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

【１】

(3)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$は空間ベクトルである．$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\text{，}$$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{22}\text{，}$$|\overrightarrow{c}|=3\sqrt{2}$であり，また$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-4\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=7\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=-4$である．このとき$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．またベクトル$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+l\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に垂直であれば$k=\boxed{\text{シ}}\text{，}l=\boxed{\text{ス}}$である．

【２】(1)　曲線$y=|x^2-3x|$と直線$y=x$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　曲線$y=|x^2-3x|$と直線$y=kx$の

• 共有点が$3$個であるための$k$の必要十分条件は$\boxed{\text{あ}}\text{，}$
• 共有点が$2$個であるための$k$の必要十分条件は$\boxed{\text{い}}\text{，}$
• 共有点が$1$個であるための$k$の必要十分条件は$\boxed{\text{う}}$である．

　$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{う}}$については，次の選択肢(a)〜(p)より正しいものを選べ．

$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{う}}$の選択肢

• (a)　$k>3$
• (b)　$k\geqq 3$
• (c)　$0<k<3$
• (d)　$|k|<3$
• (e)　$0<|k|<3$
• (f)　$k<0$
• (g)　$-3<k<0$
• (h)　$-3\leqq k<0$
• (i)　$k<-3$
• (j)　$k\leqq -3$
• (k)　$|k|>3$
• (l)　$|k|\geqq 3$

• (m)　$|k|>3$または$k=0$
• (n)　$|k|\geqq 3$または$k=0$
• (o)　$k\geqq 3$または$k=0$または$k<-3$
• (p)　$k>3$または$k=0$または$k\leqq -3$

【３】　平面上に$4$点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(b,b+8)\text{，}\mathrm{C}(0,c)\text{，}\mathrm{O}(0,0)$があって，これらの$4$点は同一円周上にあるものとする．これらの点が次の条件

(ⅰ)　直線$\mathrm{OA}$上のすべての点$(x,y)$に対して，点$(x+9y,9x+4y)$は直線$\mathrm{OB}$上にある

を満たしているならば，$b=\boxed{\text{タ}}$であり，$a+\boxed{\text{チ}}c=\boxed{\text{ツ}}$が成り立つ．さらに，次の条件

(ⅱ)　直線$\mathrm{AB}$上のどの点$(x,y)$に対しても，点$(2x+y,3x+4y)$は$(x,y)$自身と一致しない

も満たしているならば，$a=\boxed{\text{テ}}$である．したがって，条件(ⅰ)，(ⅱ)が満たされているとき，四角形$\mathrm{ABCO}$の面積は$\boxed{\text{ト}}$であり，直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{CB}$のなす角を$\alpha \text{（}0°<\alpha <90°\text{），}$直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{AC}$のなす角を$\beta \text{（}0°<\beta <90°\text{）}$とすると

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\text{，}\tan \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$

である．