2008　上智大学　理工学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　$xyz$空間に中心の$z$座標が負で半径が$3$の球面がある．平面$z=0$と球面との交わりは点$(1,-1,0)$を中心とする半径$1$の円$S$である．

(1)　球面の中心は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}},-\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}})$である．

(2)　点$\mathrm{A}(1,-1,a)$と円$S$上の点$\mathrm{P}$と球面上の点$\mathrm{Q}$の$3$点が$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たすとする．ただし，$t$は$1$と異なる実数である．このとき

$t={\displaystyle \frac{a^2+\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}a+\boxed{\text{キ}}}{a^2+\boxed{\text{ク}}}}$

である．

(3)　$a=3$とする．点$\mathrm{P}$が円$S$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}+\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【２】　$3$次関数$f(x)=3x^3\text{，}g(x)=3{(x-a)}^3+a$を考える．$a$は正の数である．

(1)　$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲は$0<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$である．

(2)　$a$の値が(1)の範囲にあるとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれる部分の面積を$S$とおく．

$S={\displaystyle \frac{a}{18}}{(\boxed{\text{チ}}{a}^2+\boxed{\text{ツ}})}^{\frac{3}{2}}$

である．

(3)　$S$は$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$をとる．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3x-3& 3x-4\\ -2x+3& -2x+4\end{array}\right)$とする．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)A^n{\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$

とおく．$n=1$のとき，$q_1=\boxed{\text{ヌ}}$であり，$n=2$のとき，$s_2=\boxed{\text{ネ}}$である．一般に，自然数$n$に対し，$r_n$は$x$についての整式であり，その次数は$\boxed{\text{ノ}}n+\boxed{\text{ハ}}$である．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，$A^n=\left(\begin{array}{cc}{t}_n& u_n\\ v_n& w_n\end{array}\right)$とおくと，$u_n$は$x$についての整式である．$n=10$のとき，整式$u_{10}$の$x$に$0$を代入した値は$\boxed{\text{ヒ}}\text{，}1$を代入した値は$\boxed{\text{フ}}\text{，}-1$を代入した値は$\boxed{\text{ヘ}}$である．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，$y_n={\displaystyle \frac{u_n}{x^n}}$とおく．$0<x\leqq \boxed{\text{ホ}}$のとき数列$\{y_n\}$は$-\infty$に発散し，$\boxed{\text{ホ}}<x$のとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}x+\boxed{\text{ミ}}}{x+\boxed{\text{ム}}}}$

である．

【４】　図のように$1$から$n$までの番号がついた$n$個の区画がある．

別に$1$から$n$までの番号札を用意して，各区画に$1$枚ずつ置いて並べる．$n$個の区画の中で，区画の番号と置いてある札の番号が一致している区画の数を$k$とする．

(1)　$n=3$のとき，$k=0$となる並べ方は$\boxed{\text{メ}}$通りである．

(2)　$n=4$のとき，$k=2$となる並べ方は$\boxed{\text{モ}}$通り，$k=1$となる並べ方は$\boxed{\text{ヤ}}$通り，$k=0$となる並べ方は$\boxed{\text{ユ}}$通りである．

(3)　$n=5$のとき，$k=3$となる並べ方は$\boxed{\text{ヨ}}$通り，$k=2$となる並べ方は$\boxed{\text{ラ}}$通り，$k=1$となる並べ方は$\boxed{\text{リ}}$通りである．

(4)　番号札をよく切って並べるとする．$n=5$のとき，$k$の期待値は$\boxed{\text{ル}}$である．