2008　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　${\left({\displaystyle \frac{1}{125}}\right)}^{20}$を小数で表したとき，小数第$\boxed{\text{ア}}$位に初めて$0$でない数字が現れ，その値は$\boxed{\text{イ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　図$1$のように一辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．ここで，$\mathrm{O}$を出発点として次のように平面を移動する点$\mathrm{P}$を考える．

• ・さいころを$1$回投げて$1$の目が出ると点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の方向へ$1$進む．
• ・さいころを$1$回投げて$2$の目が出ると点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の方向へ$1$進む．
• ・さいころを$1$回投げて$3$の目が出ると点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の方向へ$1$進む．
• ・さいころを$1$回投げて$4$の目が出ると点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の方向へ$1$進む．
• ・さいころを$1$回投げて$5$の目が出ると点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$の方向へ$1$進む．
• ・さいころを$1$回投げて$6$の目が出ると点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$の方向へ$1$進む．

　点$\mathrm{O}$を出発点（${\mathrm{P}}_0$とする）として，$1$回目の移動で点$\mathrm{P}$が進む位置を${\mathrm{P}}_1\text{，}2$回目の移動で進む位置を${\mathrm{P}}_2\text{，}3$回目の移動で進む位置を${\mathrm{P}}_3$とする（例えば，さいころを$3$回投げて$1$回目に$3\text{，}2$回目に$1\text{，}3$回目に$2$が出た場合，点$\mathrm{P}$は図$2$のように移動する）．このとき，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$の長さの$2$乗の期待値は$1\text{，}$線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2$の長さの$2$乗の期待値は$\boxed{\text{ウ}}$，線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_3$の長さの$2$乗の期待値は$\boxed{\text{エ}}$である．

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  図$1$　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$

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  図$2$　点$\mathrm{P}$の移動の例

【３】　$f(x)=x^2$とする．$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$t$を用いて，関数$y=f(x)$のグラフ上に$4$点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},f(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right)\text{，}(-t,f(-t))\text{，}(t,f(t))\text{，}({\displaystyle \frac{1}{2}},f({\displaystyle \frac{1}{2}}\left)\right)$をとり，それぞれ，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．この$4$点を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大になるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のときで，そのときの面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}$，$\boxed{\text{ク}}$はできる限り小さい自然数で答えること．

【４】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CD}=3$であり，$\cos \angle \mathrm{BCD}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$とする．このとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ケ}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{3\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{4}}$である．

【５】　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$（ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数の定数とする）は，$a+b+c=-18$を満たし，$i-{\displaystyle \frac{3}{i}}$（$i$は虚数単位）を解にもつ．このとき，残りの$2$つの解は，$x=\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}i$である．

【６】　正の整数$a\text{，}b$について次の条件を考える．

• (条件$1$)　$a\geqq 3$かつ$b\geqq 8$
• (条件$2$)　$a+b\geqq 10$
• (条件$3$)　$a+b\geqq 11$
• (条件$4$)　$ab\geqq 24$
• (条件$5$)　$a+b\geqq 10$かつ$ab\geqq 24$
• (条件$6$)　$a+b\geqq 11$かつ$ab\geqq 24$

　(条件$1$)〜(条件$6$)のうちで条件$\boxed{\text{ス}}$は他のすべての条件の十分条件であり，条件$\boxed{\text{セ}}$は他のすべての条件の必要条件である．また，条件$\boxed{\text{ソ}}$と条件$\boxed{\text{タ}}$（条件$\boxed{\text{ソ}}$と条件$\boxed{\text{タ}}$の順序は問わない）は互いに同値である（以上については，条件の番号のみをマークすること）．さらに，(条件$3$)を満たして(条件$4$)を満たさない$(a,b)$の組は$\boxed{\text{チ}}$個ある．

【７】　数列$\{a_n\}$について，初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=n(2n+1)$となるとき，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ツ}}n+\boxed{\text{テ}}$である．次に，数列$\{b_n\}$について，$b_1=1\text{，}{b}_{n+1}=2b_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$である．ここで，数列$\{c_n\}$を$c_n=a_n(b_n+1)$とすると，数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$は，

$T_n=(\boxed{\text{ト}}n+\boxed{\text{ナ}}){\boxed{\text{ニ}}}^{n+1}+\boxed{\text{ヌ}}$

である．

【８】　四角形$\mathrm{OABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=3$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積は$3$である．さらに$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たしている．点$\mathrm{O}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{OP}$を引き，点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{BQ}$を引く．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t$は定数）とおくと$t={\displaystyle \frac{13}{19}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$s$は定数）とおくと$s={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．以上より，線分$\mathrm{PQ}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\sqrt{\boxed{\text{フ}}}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ハ}}$，$\boxed{\text{フ}}$はできる限り小さい自然数で答えること．

【９】　$x$についての方程式$|x^2+ax+2a|=a$（ただし，$a$は正の実数とする）が，異なる実数解をちょうど$2$個もつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ヘ}}<a<\boxed{\text{ホ}}$である．

【８】　曲線$y=5\log x$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，それぞれの$x$座標を$p\text{，}q$（ただし，$p<q$）とする．ここで，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における曲線の接線が$x$軸の正の方向となす角をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とすると，$\tan (\alpha -\beta )$は$p\text{，}q$を用いて$\tan (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}(p-q)}{pq+\boxed{\text{ノ}}}}$と表される．よって，$2$本の接線のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となるような整数$p\text{，}q$の組$(p,q)$の中で最も大きい$q$の値は$\boxed{\text{ハ}}$である．

【９】　$A={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$とする．$A=k\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{（}k>0\text{）}$が成り立つとき，$k$の値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{5}}$である．このとき，点$\mathrm{P}(10,0)$をとり，行列$A$で表される座標平面上の点の移動によって，点$\mathrm{P}$が移った点を点$\mathrm{Q}$とし，同様に点$\mathrm{Q}$が移った点を点$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{フ}}$となる．