2008　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　正の数$x\text{，}y$が等式

${\log }_{\sqrt{a}}x=1+{\log }_{a}y$

をみたす．ただし，$a$は$1$でない正の定数とする．このとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$y$を$x$の式で表せ．

(2)　$x-y$の最大値を求め，そのときの$x\text{，}y$の値も求めよ．

【２】　空間内に，同一平面上にない相異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は互いに直交し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=3$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，次の各問に答えよ．(3)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{K}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\overrightarrow{k}$と表す．このとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{k}$を求めよ．また，$\overrightarrow{k}$の大きさ$\left|\overrightarrow{k}\right|$を$t$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{OAK}$で，$\mathrm{O}$から$\mathrm{AK}$にひいた垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{AH}:\mathrm{HK}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{k}\right|$を用いてできるだけ簡単に表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{(\boxed{})\overrightarrow{a}+(\boxed{})\overrightarrow{b}+\boxed{}\overrightarrow{c}}{\mathrm{ }}}$

の形に表せ．空欄にあてはまる式を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のつくる平面に垂直であるとき，$t$の値を求めよ．

【３】　次の空欄にあてはまる式または数値を解答欄に記入せよ．ただし，

$f(\theta )=2\{(a-1){\sin }^2\theta +a\sin \theta \cos \theta +(a+1){\cos }^2\theta \}$

とし，$a$は正の定数，$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．

(1)　$f(\theta )$を$\sin 2\theta \text{，}\cos 2\theta$についてまとめると

$f(\theta )=\boxed{\text{ア}}\sin 2\theta +\boxed{\text{イ}}\cos 2\theta +\boxed{\text{ウ}}$

となる．

(2)　$f(\theta )$の最大値と最小値の差が$5$のとき，$a=\boxed{\text{エ}}$であり，$f(\theta )$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【４】　数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$は，初項$a\text{，}$公差$d$の等差数列であり，$a_3=12$かつ$S_8>0\text{，}{S}_9\leqq 0$をみたす．ただし，$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$である．このとき，次の各問に答えよ．(1)，(2)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　公差$d$がとる値の範囲を求めよ．

(2)　$a_n\text{（}n>3\text{）}$がとる値の範囲を，$n$を用いて表せ．

(3)　$a_n>0\text{，}{a}_{n+1}\leqq 0$となる$n$の値を求めよ．

(4)　$S_n$が最大となるときの$n$の値をすべて求めよ．また，そのときの$S_n$を$d$の式で表せ．