2008　南山大　経営学部Ｂ2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a$を$1$でない正の定数とする．$x$の関数

$(2a^{-x}+3a^x)({\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^{-x}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{a}^x)$

は$x=\boxed{\text{ア}}$のとき最小値$\boxed{\text{イ}}$をとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$の$2$等辺$3$角形$\mathrm{ABC}$がある．その面積が$1$であるとき，$\angle \mathrm{B}$の大きさを弧度法で表すと$\boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x$の$3$次の整式$Q(x)$は$x-1$で割り切れ，$x+1$で割った余りは$-2$である．また，$Q(x)$を$x+2$で割った余りは$-21$で，${(x-1)}^2$で割った余りは$7x-7$である．$x$の$3$次の係数は$\boxed{\text{オ}}$であり，$1$次の係数は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$

$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{，}{C}_2:y=-{(x-a)}^2+2$

を考える（ただし，$a$は実数とする）．$C_1\text{，}{C}_2$が第$1$象限で接するとき，$a=\boxed{\text{キ}}$である．また，$C_1\text{，}{C}_2$が異なる$2$点で交わり，その交点の$x$座標が一方は$-1$以下で，もう一方が$0$以上であるとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)$は$f(1)=14$を満たし，導関数は$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$である．このとき，区間$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}$における関数$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　実数$\theta$の方程式

$4\cos {\displaystyle \frac{\theta }{3}}+\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+k=0$(＊)

が解を持つような$k$の範囲を求めたい．次の各問に答えよ．

(1)　$3$倍角の公式$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$が成り立つことを示せ．なお，加法定理は

$\{\begin{array}{c}\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{array}$

である．

(2)　$\theta =6t\text{，}\sin t=x$とおく．また，方程式(＊)の左辺を$x$の関数$f(x)$とする．このとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(3)　方程式(＊)が実数解を持つような$k$の範囲を求めよ．