2008　南山大　数理情報A2月9日実施MathJax

(1)　関数$y={({\log }_2{x}^2)}^2+{\log }_2(4x^3)$がある．${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq 8$のとき，$t={\log }_{2}x$のとり得る値の範囲を求めると$\boxed{\text{ア}}$であり，$y$の最小値は $\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 3\end{array}\right)$と$P=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 1& 1\end{array}\right)$がある．$P$は逆行列をもち，行列$B$は$B=P^{-1}AP$を満たす．$B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& y\end{array}\right)$となるとき，$x$の値を求めると$x=\boxed{\text{ウ}}$であり，$y$の値を求めると$y=\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$x$の方程式$\sin x\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x+a=0$がある．$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$のとき，$0\leqq x<\pi$でこの方程式の解を求めると$x=\boxed{\text{オ}}$である．また，この方程式が$0\leqq x<\pi$で$2$つの異なる解をもつとき，$a$の範囲を求めるとその範囲は $\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　$4$つのさいころを同時に投げ，出た目のうち最小の値が得点となるゲームを行う．得点が$5$である確率は $\boxed{\text{キ}}$であり，このゲームの得点の期待値は $\boxed{\text{ク}}$である．

(5)　$p$を実数とし，$2$次方程式$x^2+3px-7p=0$の解の$1$つが$x=3$であるとき，$p$の値と他の解$\beta$の値を求めると$(p,\beta )=\boxed{\text{ケ}}$である．$q$を$0$でない実数とし，$2$の$2$次方程式$x^2-3qx-6q=0$と$q{x}^2-x+2q=0$が共通の実数解をもつとき，$q$の値を求めると$q=\boxed{\text{コ}}$である．

$(r^{3k-2},2r^{3k-2},0)\text{，}(0,r^{3k-1},2r^{3k-1})\text{，}(2r^{3k},0,r^{3k})$

である．ここで，$r$は$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$を満たす正の定数である．また，$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$ならば，すべての$n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}}$が成立することがわかっている．

(1)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の長さが$\sqrt{5}{r}^n$であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2}\perp \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$を用いて，$r$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$S_n$とする．${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

(1)　$C$と$l$の$2$つの交点の座標を$\alpha \text{，}\beta$で表せ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．$V$を$\alpha \text{，}\beta$で表せ．

(3)　$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\sin 2\theta \text{，}\alpha +\beta =2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$で，${\displaystyle \frac{\pi }{6}<\theta \leqq \frac{\pi }{3}}$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$\theta$で表せ．

(4)　(3)のとき，(2)の$V$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．