2008　南山大　数理情報Ｂ2月11日実施MathJax

(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される移動で，点$\mathrm{P}(2,1)$は点$\mathrm{Q}(3,4)$に移り$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$に移る．このとき，$A$を求めると$A=\boxed{\text{ア}}$である．また，線分$\mathrm{PQ}$を$1:3$に内分する点$\mathrm{R}$が，この$A$で表される移動で移る点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の座標を求めるとその座標は$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$3$つの整式$A=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d\text{，}B=x^3+p{x}^2+qx\text{，}C=x^2+1$がある．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}p\text{，}q$はそれぞれ$0$または$1$の値をとる．$B$を$C$で割った余りを$p\text{，}q\text{，}x$で表すと$\boxed{\text{ウ}}$である．$A\text{，}B$をそれぞれ$C$で割った余りが等しくなる$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}p\text{，}q$の値の組は，全部で$\boxed{\text{エ}}$組ある．

(3)　初項$8\text{，}$公差$19$の等差数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$がある．$a_n$が素数となる最小の$n$の値は$n=\boxed{\text{オ}}$である．また，$a_n$が$3$の倍数で，集合$\{m|m\leqq n\text{かつ}{a}_m\text{は}3\text{の倍数}\}$の要素の個数が$4$であるとき，$n$の値は$n=\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　半径$1$の円に内接する正六角形$R$があり，その$1$つの辺を$\mathrm{AB}$とする．$R$の面積は$\boxed{\text{キ}}$である．また，正方形$S$がある．$S$の$4$つの頂点は$R$の辺上にあり，$S$の$2$つの辺は$\mathrm{AB}$に平行である．$S$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

(5)　$1$から$7$までの数字が$1$つずつ書かれた$7$枚のカードと$1$個のさいころがある．このとき，カードを$1$枚引くのと同時にさいころを投げるという操作を$2$回繰り返す．ただし，引いたカードはもとに戻さないものとする．$1$回目の操作でカードの数字とさいころの目が同じ数になる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$2$回の操作でともにカードの数字とさいころの目が異なる数になる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　座標空間に点$\mathrm{D}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$であるとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を，それぞれ$m$で表せ．

(3)　$\angle \mathrm{QPR}=90°$のとき，$m$の値を求めよ．

(1)　$C$と$l$のグラフをかけ．

(2)　点$(2,0)$における$C$の法線は，$C$と$l$で囲まれた図形を$2$つに分割する．分割された$2$つの部分の面積をそれぞれ求めよ．

(3)　$C$と$l$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．