2008　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$\cos 2\theta -\sin \theta =0\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$の解は$\theta =\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$1\leqq x\leqq 100$のとき，$x^{2-\log x}$の最大値は$\boxed{\text{イ}}$，最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．ただし対数の底は$10$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x^2-y^2=24$を満たす自然数の組は$(x,y)=\boxed{\text{エ}}$と$(x,y)=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　実数を係数とする$2$次方程式$x^2+2mx+2m+3=0$が虚数解をもち，その解の実部が正であるとき，$m$の値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．またこの方程式が相異なる実数解をもち，$2$つの解の差の絶対値が$2$より小さいとき，$m$の値の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　直線$2kx+(k^2-1)y-{(k+1)}^2=0\text{（}k\text{は定数）}$がある．$k$がどのような実数値をとっても，この直線が通らない点の集合は，領域$\boxed{\text{ク}}$と点$\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(6)　多項式$P(x)$を$x-1$で割ると余りが$2\text{，}(x-2)(x-3)$で割ると余りが$3(x-1)$である．$P(x)$を$x-2$で割ったときの余りは$\boxed{\text{コ}}$であり，$(x-1)(x-2)$で割ったときの余りは$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　$x$の関数

$f(x)=|x^2-4|-3$

に対して，関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^x}f(t)dt\text{（}x\geqq -2\text{）}$

と定義する．

(1)　$f(x)=0$となる$x$の値を求め，$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　$-2\leqq x\leqq 2$のとき，$F(x)$の極小値を求めよ．

(3)　関数$F(x)$の最小値を求めよ．