2008　同志社大　文系学部全学部日程2月5日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$x^3-1$を${(x-1)}^2$で割った余りは$\boxed{\text{ア}}$であり，$x^2-1$で割った余りは$\boxed{\text{イ}}$である．また，$x^3-27$を$x^2-5x+6$で割った余りは$\boxed{\text{ウ}}$である．

(2)　$n$を$3$以上の整数とする．$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1$を$x-1$で割った余りは$\boxed{\text{エ}}$となるから，$x^n-1$を${(x-1)}^2$で割った余りは$\boxed{\text{オ}}$である．また，$x^n-1$を$x^2-1$で割った余りは，$n$が偶数のとき$\boxed{\text{カ}}$であり，$n$が奇数のとき$\boxed{\text{キ}}$である．

(3)　$n$を$3$以上の整数とする．$x^n-3^n$を${(x-3)}^2$で割った余りは$\boxed{\text{ク}}$であり，$x^2-5x+6$で割った余りは$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　ある定数$a$に対して，$k$が実数全体を動くとき，放物線

$y=-x^2-(k+2)x+a{k}^2$

の頂点の軌跡が直線$l$になるとする．次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を求め，直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$k=2$のときの放物線$C_1$と$k=-2$のときの放物線$C_2$の共通接線の方程式を求めよ．

(3)　$2$つの放物線$C_1\text{，}{C}_2$および(2)で求めた共通接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とおく．また，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とおく．$3$辺の長さが$a+b+c=5$をみたすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$r={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$r={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\angle \mathrm{BCA}=90°\text{，}a\leqq b$のとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(3)　$a=b\text{，}Rr={\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}\angle \mathrm{BCA}<90°$のとき，$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．