2008　関西大　センター中期理系2月8日実施MathJax

【１】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

• $f_1(x)=e^x$
• $f_{n+1}(x)=e^x+e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^1}t{f}_n(t)dt\text{（}n\geqq 1\text{）}$

また

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}t{f}_n(t)dt\text{（}n\geqq 1\text{）}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表し，$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a$を用いて，$f(x)=e^x+a{e}^{-x}$とおく．$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，$f(x)$の極値を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$xy$座標平面において，点$\mathrm{P}(x,y)$を直線$y=0$に関して対称な点$\mathrm{Q}(x_1,y_1)$に移す．この移動は，行列を用いて

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{①}}& 0\\ 0& \boxed{\text{②}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と表される．

　次に，$a$を実数として，直線$y=ax$に関する対称移動を考える．この直線に関して点$\mathrm{P}(x,y)$と対称な点$\mathrm{R}$の座標を$(x_2,y_2)$とおく．直線$\mathrm{PR}$は直線$y=ax$に垂直であり，線分$\mathrm{PR}$の中点は直線$y=ax$上にあることから，$x_2\text{，}{y}_2$と$x\text{，}y$の間には

$\{\begin{array}{l}\boxed{\text{③}}{x}_2+\boxed{\text{④}}{y}_2=x+ay\\ \boxed{\text{⑤}}{x}_2-\boxed{\text{⑥}}{y}_2=-ax+y\end{array}$

という関係がある．この$2$式から

$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{⑦}}& \boxed{\text{⑧}}\\ \boxed{\text{⑧}}& -(\boxed{\text{⑦}})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が得られる．したがって，直線$y=ax$に関する対称移動を表す行列$B$は

$B={\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{⑦}}& \boxed{\text{⑧}}\\ \boxed{\text{⑧}}& -(\boxed{\text{⑦}})\end{array}\right)$

である．

　直線$y=0$に関する対称移動を行った後，それに続けて直線$y=(2-\sqrt{3})x$に関する対称移動を行うと，回転角が$\boxed{\text{⑨}}$である原点のまわりの回転移動になる．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　座標平面において，点$\mathrm{P}$の直交座標が$(x,y)$であり，原点を極とし，$x$軸の正の部分を始線とする点$\mathrm{P}$の極座標を$(r,\theta )$とすると

$x=r\cos \theta \text{，}y=r\sin \theta$(ⅰ)

である．

　極方程式

$r={\displaystyle \frac{1}{1+p\cos \theta }}$(ⅱ)

で表される曲線の図形を考える．

(1)　$p=1$のとき(ⅱ)は

$r=1-r\cos \theta$(ⅲ)

と変形される．(ⅲ)の右辺を$x$を用いて表し，その結果得られる式の両辺を$2$乗すると，$r^2$は$x$を用いて

$r^2=\boxed{\text{①}}$(ⅳ)

と表される．(ⅰ)と(ⅳ)から$x$は$y$の関数として

$x=\boxed{\text{②}}$

と表されることがわかる．

(2)　極方程式$r={\displaystyle \frac{1}{1+\sin \theta }}$で表される曲線上の点を直交座標で$(x,y)$と表すと，$x$と$y$との間には$y=\boxed{\text{③}}$という関係があることがわかる．

(3)　$2$つの極方程式

$r={\displaystyle \frac{1}{1+\cos \theta }}\text{，}r={\displaystyle \frac{1}{1+\sin \theta }}$

で表される曲線によって囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{④}}$である．

(4)　$p={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$のとき，(ⅱ)を$x$と$y$で表すと

${\displaystyle \frac{{(x+c)}^2}{a^2}+\frac{{(y+d)}^2}{b^2}}=1$

となる．ここで，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は定数で，特に$a\text{，}b$は正とする．このとき

$a=\boxed{\text{⑤}}\text{，}b=\boxed{\text{⑥}}\text{，}c=\boxed{\text{⑦}}\text{，}d=\boxed{\text{⑧}}$

である．

(5)　$p=\sqrt{5}$のとき，(ⅱ)で表される図形の漸近線は$y=\boxed{\text{⑨}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$y=x\sqrt{1+x^2}$とする．このとき，$(1+x^2)y^{″}+x{y}^{\prime }=ay$が成立するような定数$a$の値は$a=\boxed{\text{①}}$である．ただし，$y^{\prime }\text{，}{y}^{″}$はそれぞれ$y$の導関数，および第$2$次導関数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$f(x)={(2x-3)}^4$とする．このとき$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)-f(1)}{x-1}}$の値は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1+e^x}dx}$の値は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}\cos x\cos 2xdx$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　${\displaystyle {\int }_0^3}|(x-3){(x-1)}^3|dx$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^2\log xdx$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(7)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\frac{1}{n+6}+\cdots +\frac{1}{n+2n}}$とすると$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値は$\boxed{\text{⑦}}$である．