2008　関西学院大　理工学部Ａ方式MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが$n$回$\text{（}n\geqq 3\text{）}$じゃんけんをする．$\mathrm{A}$さんも$\mathrm{B}$さんも，グー・チョキ・パーを毎回それぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとする．$\mathrm{A}$さんが$1$回も勝たない確率は$\boxed{\text{（ア）}}$であり，ちょうど$1$回勝つ確率は$\boxed{\text{（イ）}}$である．$\mathrm{A}$さんが少なくとも$2$回勝つ確率は$\boxed{\text{（ウ）}}$である．$\mathrm{A}$さんが$1$回も勝たないか，または$1$回も負けない確率は$\boxed{\text{（エ）}}$であるから，$\mathrm{A}$さんが少なくとも$1$回勝ち，かつ少なくとも$1$回負ける確率は$\boxed{\text{（オ）}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．ただし，$\boxed{\text{（ク）}}$は$(a,b)$の形で答えよ．

(2)　$xy$平面上の$2$直線$tx-y=t\text{，}x+ty=-2t-1$の交点$\mathrm{P}$の$y$座標は$\boxed{\text{（カ）}}$である．$t$が任意の実数値をとって変わるとき$\mathrm{P}$が描く図形は，方程式$\boxed{\text{（キ）}}$で表される曲線から点$\boxed{\text{（ク）}}$を除いたものである．$\mathrm{P}$の$x$座標の最大値は$\boxed{\text{（ケ）}}$である．

【２】　$xy$平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$が正の整数のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$xy$平面において連立不等式$0\leqq y\leqq x^2\text{，}0\leqq x\leqq n$の表す領域を$D$とする．領域$D$に含まれる格子点の個数$a_n$を求めよ．

(2)　$xy$平面において不等式$y^2\leqq x\leqq n^2$の表す領域を$E$とする．領域$E$に含まれる格子点の個数$b_n$を求めよ．

(3)　$xy$平面において不等式$y^2\leqq x\leqq 9n^2$の表す領域を$F$とする．領域$F$に含まれる格子点の個数$c_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{c_n}}$を求めよ．

【３】　一辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$上にそれぞれ$\mathrm{OP}=\mathrm{AQ}=\mathrm{BR}=t$であるようにとり，点$\mathrm{S}$を辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AS}=t$であるようにとる．ただし，$0<t<1$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を頂点とする四面体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{QRS}$の面積$M_1$を$t$の式で表せ．

(2)　$V$を$t$の式で表せ．

(3）$t$が$0<t<1$の範囲で変化するとき，$V$の最大値を求めよ．

(4)　$V$が最大値をとるとき，三角形$\mathrm{OQS}$の面積$M_2$を求めよ．

【４】　$n$が正の整数のとき$I_n={\displaystyle {\int }_2^3}{\displaystyle \frac{{(x-3)}^n}{n{x}^n}}dx$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$I_1$を求めよ．

(2)　$2\leqq x\leqq 3$において$\left|{\displaystyle \frac{x-3}{x}}\right|$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$を求めよ．

(3)　$I_n$を用いて$I_{n+1}$を表せ．必要なら部分積分法を利用せよ．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$を求めよ．