2008　広島修道大学　人間関係学科前期Ａ日程MathJax

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(1)　$30$人の生徒のなかから学級委員長，学級副委員長，書記，会計を$1$名ずつ決めるとき，その決め方は$\boxed{\text{①}}$通りある．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(2)　$a$を$0$でない定数とする．$2$次関数$y=a{x}^2+(a+1)x+a+1$のグラフが，下に凸で$x$軸と$2$点を共有するときの$a$の範囲は$\boxed{\text{②}}<a<\boxed{\text{③}}$であり，上に凸で$x$軸と共有点を持たないときの$a$の範囲は$a<\boxed{\text{④}}$である．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(3)　関数$y=-2{\cos }^2\theta -2\sin \theta \left({\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}\right)$について，この関数$y$の最大値は$\boxed{\text{⑤}}$であり，そのときの$\theta$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．また，$y$の最小値は$\boxed{\text{⑦}}$であり，そのときの$\theta$の値は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑪}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(4)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=50\\ 8x+y+19z=400\end{array}$

を満たす正の整数は，$x=\boxed{\text{⑨}}\text{，}y=\boxed{\text{⑩}}\text{，}z=\boxed{\text{⑪}}$である．

【２】　$\mathrm{S}$大学キャンパスのバス停に，$17$時に到着予定のバスがある．このバスが予定時刻に到着する時刻は${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}5$分遅れて到着する確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}10$分遅れて到着する確率は${\displaystyle \frac{1}{12}}$である．一方，$\mathrm{A}$君が$17$時以前にバス停に到着する確率は${\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}3$分遅れて到着する確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}7$分遅れて到着する確率は${\displaystyle \frac{3}{10}}$である．ただし，バスの到着と$\mathrm{A}$君のバス停への到着とは独立試行であるとせよ．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　このバスが予定時刻から遅れる時間の期待値は何分何秒か．

(2)　$\mathrm{A}$君がこのバスに乗れる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{B}$君は常に$17$時より前にバス停に到着して$\mathrm{A}$君を待ち，必ず$\mathrm{A}$君と一緒に同じバスに乗ることにしている．そのために，万一$\mathrm{A}$君がこのバスに間に合わない場合，次のルールで$\mathrm{A}$君は$\mathrm{B}$君にお金を支払うことにしている．

• (ⅰ)　$\mathrm{A}$君が$3$分遅れてバス停に到着し，このバスに乗れなかった場合は$200$円
• (ⅱ)　$\mathrm{A}$君が$7$分遅れてバス停に到着し，このバスに乗れなかった場合は$400$円
• (ⅲ)　上記(ⅰ)，(ⅱ)以外の場合には支払わない．

　このとき，$\mathrm{A}$君が受け取る金額の期待値を求めよ．

【３】　底面が正六角形である六角柱が半径$r$の球に内接している．六角柱の高さを$h$として，次の各問に答えよ．

(1)　この六角柱の体積$V$を$h$を用いて表せ．

(2)　この六角柱の体積$V$を最大にする$h$の値を求めよ．また，体積$V$の最大値を求めよ．