2009　北海道大学　前期MathJax

【１】　$r=1+\sqrt{3}i$とする．ただし，$i$は虚数単位である．実数$a\text{，}b$に対して多項式$P(x)$を

$P(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2-8(\sqrt{3}+1)x+16$

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$P(\gamma )=0$となるように$a$と$b$を定めよ．

(2)　(1)で定めた$a$と$b$に対して，$P(x)=0$となる複素数$x$で$\gamma$以外のものをすべて求めよ．

【２】　座標平面上の点$(a,b)$で$a$と$b$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．$y=3x^2-6x$で表される放物線を$C$とする．$n$を自然数とし，$C$上の点$\mathrm{P}(n,3n^2-6n)$をとる．原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする．$C$と線分$\mathrm{OP}$で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界を含むとする．$0\leqq k\leqq n$をみたす整数$k$に対して，直線$x=k$上にあり$D$に含まれる格子点の個数を$f(k)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(k)$を求めよ．

(2)　$D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

(3)　$D$が最大になるような$k$を求めよ．

【３】　実数$t>0$に対して，座標平面上に点$\mathrm{P}(t,0)\text{，}$点$\mathrm{Q}(2t,1-4t^2)\text{，}$点$\mathrm{R}(-t,1-t^2)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が一直線上にあるような$t$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた値を$t_0$とする．$0<t<t_0$のとき，三角形$△\mathrm{PQR}$の面積$S\left(t\right)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

【４】　図はある三角錐$V$の展開図である．ここで$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\angle \mathrm{ACD}=90°$で$△\mathrm{ABE}$は正三角形である．このとき，$V$の体積を求めよ．

【２】　直角三角形$△\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{B}$は直角であるとし，辺$\mathrm{AC}$の長さを$\alpha$とする．辺$\mathrm{AC}$を$n$等分し，その分点を$\mathrm{A}$に近い方から順に${\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{D}}_{n-1}$とおく．$1\leqq k\leqq n-1$に対し，線分$\mathrm{B}{\mathrm{D}}_k$の長さを$L_k$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{(L_k)}^2$を$\alpha$と$n$で表せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}$を$\alpha$で表せ．

【３】　$t>0$とし，$x=t$で表される直線を$l_1$とする．$y={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$で表される放物線を$C$とおく．$C$と$l_1$の共有点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{4}})$における$C$の接線を$l_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　$l_1$を$l_2$に関して対称移動させた直線を$l_3$とおくとき，$l_3$の方程式を求めよ．

(3)　$l_3$は$t$によらない定点を通ることを示せ．

(4)　$t_3$と$C$の$2$つの共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になるような$l$の値を求めよ．

【４】　$0<a<1\text{，}0<\theta <\pi$とする．$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{Q}(x,y)$が条件

$\mathrm{OQ}=\mathrm{AQ}=\mathrm{PQ}$

をみたすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$\theta$で表せ．

(2)　$a$を固定する．$0<\theta <\pi$の範囲で$\theta$が動くとき，$y$の最小値を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}}{(\tan x)}^{2n}dx$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k+1}}{2k-1}}$を求めよ．