2009　北海道大学　後期MathJax

(1)　$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$を$z$で表せ．

(2)　${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4$を$z$で表せ．

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2a_n}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

によって定める．$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{2k+1}$を$a_{2k-1}$で表せ．

(2)　$1<a_{2k+1}<a_{2k-1}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$を示せ．

(1)　直線$l$の方程式と点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$p>1$として，$l$と直線$x=p$との共有点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$を$x$軸に関して対称移動して得られる点を$\mathrm{Q}$とする．円$S$の接線で$\mathrm{Q}$を通るもののうちの$1$本が$l$と直交するとき，$p$を$c$で表せ．

$f\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^1}\left(\right|e^x-t|+|e^{2x}-t\left|\right)dx$

と定める．$1\leqq t\leqq e$での$f\left(t\right)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．