2009　小樽商科大学　前期

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(1)　$2009$の約数は自身も含めて$\boxed{\text{(a)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(2)　${\displaystyle \frac{3}{1^2\cdot 2^2}}+{\displaystyle \frac{5}{2^2\cdot 3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{2n+1}{n^2\cdot {(n+1)}^2}}=\boxed{\text{(b)}}$．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(3)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}{\displaystyle {\int }_{-x}^x}(t^2+1)\mathit{dt}=\boxed{\text{(c)}}$．

【２】　$y$軸上に下から順に点${\mathrm{A}}_0\text{，}$${\mathrm{A}}_1\text{，}$$\cdots \text{，}$曲線$y=x^2$上の$x$が正の部分に点${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$$\cdots$があり，点${\mathrm{A}}_0$は原点で，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して，$3$点${\mathrm{A}}_{n-1}\text{，}$${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n$は正三角形となる．そのとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{B}}_1$の座標を求めよ．

(2)　点${\mathrm{B}}_2$の座標を求めよ．

(3)　点${\mathrm{A}}_n$の座標が$(0,{\displaystyle \frac{n(n+1)}{3}})$であることを数学的帰納法により証明せよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(1)　$\overrightarrow{a}=(-1,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(m,n)$（$m$と$n$は正の実数），$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．このとき，$m\text{，}$$n$を求めると$(m,n)=\boxed{\text{(ア)}}$．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とするとき，方程式$1+\cos 2\theta +\cos 4\theta =0$を解くと$\theta =\boxed{\text{(イ)}}\text{．}$

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(3)　$t>0$とするとき，曲線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$における$C$の法線（$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線）は，点$(-2,4)$を通るというそのとき，$t$の値を全て求めると$t=\boxed{\text{(ウ)}}\text{．}$

【４】　$x\text{，}$$y$を実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x^2+y^2\leqq \left|x\right|+\left|y\right|$を満たす領域を図示せよ．

(2)　(1)で図示した領域の面積を求めよ．

【５】　$x$を正の実数とするとき，次の問いに答えよ，

(1)　関数$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$の極値を求めよ．

(2)　$e^{\frac{1}{e}}>\sqrt[3]{3}$であることを証明せよ．