2009　帯広畜産大学　前期総合問題

【１】　$x$と$y$に関する連立$1$次方程式

$2(\sin \theta +\cos \theta )x+2(\sin \theta -\cos \theta )y=a$(1)

$2(\cos \theta -\sin \theta )x+2(\sin \theta +\cos \theta )y=b$(2)

を考える．ただし，$a\text{，}$$b$および$\theta$を定数とする．また，ベクトル$\overrightarrow{p}$とベクトル$\overrightarrow{q}$をそれぞれ$\overrightarrow{p}=(a,b)\text{，}$$\overrightarrow{q}=(x,y)$と定義する．

問１　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$a=-\sqrt{3}\text{，}$$b=1$のとき，(1)式を満たす$y=f(x)$について関数$f(x)$を求め，さらに(1)式と(2)式の連立方程式の解を求めなさい．

問２　$a$と$b$を用いて$\overrightarrow{q}$の大きさ$\left|\overrightarrow{q}\right|$を表し，さらに$a\text{，}$$b$および$\theta$を用いて$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$の内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を表しなさい．

問３　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$a^2+b^2=8$とする．$\tan \theta$を用いて${(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q})}^2$を表しなさい．さらに$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\sqrt{6}$のとき，$\tan \theta$の値を求めなさい．

問４　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$a^2+b^2=4$の場合，${(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q})}^2$が極大になるような$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．

問５　硬貨$3$枚を同時に投げる試行において，表の出る回数を$X$で表すとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めなさい．さらに問1で求めた関数$y=f(x)$に基づいて確率変数$Y$を$Y=f(X)$と定義したとき，$Y$の期待値$E(Y)$と分散$V(Y)$を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は点$\mathrm{A}$$(2,f(2))$で極値をとる．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とする．$y=f(x)$のグラフは点$\mathrm{B}$$(1,-2)$を通り，しかも点$\mathrm{B}$に関して対称である．さらに，$y=f(x)$のグラフ上の点$\mathrm{C}$は点$\mathrm{B}$に関して点$\mathrm{A}$と対称である．

　一方，関数$g(x)=x^3-6x^2+9x-2$と関数$h(x)=x^2-2x+k-1$について，$y=g(x)$のグラフを曲線$G_1\text{，}$$y=h(x)$のグラフを曲線$G_2$とする．ただし，$k$を定数とする．

問１　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて点$\mathrm{C}$の座標を表しなさい．

問２　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値および点$\mathrm{C}$の座標を求めなさい．

問３　$y=f(x)$の増減表を作って，そのグラフを書きなさい．

問４　曲線$G_1$と$G_2$が異なる$3$点で交わるような$k$の値の範囲を求めなさい．

問５　曲線$G_1$と$G_2$は点$\mathrm{D}$$(2,0)$で交わる．このときの$k$の値を求め，さらに曲線$G_1$と$G_2$で囲まれる部分の面積を求めなさい．