2009　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　$n^2+mn-2m^2-7n-2m+25=0$について次の問いに答えよ．

問１　$n$を$m$を用いて表せ．

問２　$m\text{，}n$は自然数とする．$m\text{，}n$を求めよ．

【２】　点$\mathrm{P}(-1,5)$から$2$次曲線$C:5x^2+y^2=1$へ$2$本の接線を引き，その接点をそれぞれ$\mathrm{Q}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{R}(x_2,y_2)$とする．ただし，$x_1<x_2$とする．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{Q}(x_1,y_1)$と$\mathrm{R}(x_2,y_2)$を求めよ．

問２　$A\left(\begin{array}{cc}-1& x_1\\ 5& y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& x_2\\ 5& y_2\end{array}\right)$を満たす$2$次の正方行列$A$を求めよ．

問３　$2$次曲線$C$上の任意の点を$A$で移した点はまた$C$上の点であることを示せ．

【３】　$f_n(x)={\cos }^{n}x\text{（}0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とし，曲線$y=f_n(x)$上の点$\mathrm{P}$における接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$y$座標を最大にする点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a_n$とし，そのときの点$\mathrm{Q}$の$y$座標を$b_n$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$\sin a_n\text{，}\cos a_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

問２　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【４】　座標平面上の第$1$象限$\{(x,y)|x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\}$に含まれている円で中心は直線$y=m(1-x)$（$m$は正の定数）上にあり$x$軸あるいは$y$軸に接しているものを考える．このような円で中心の$x$座標が$t$であるものを$C_t$で表すことにする．次の問いに答えよ．

問１　円$C_t$の方程式を求めよ．

問２　円$C_t$が$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を求めよ．

問３　$0<t<1$の範囲で$y=V(t)$のグラフをかき，$y=V(t)$が最大となる$t$の値を求めよ．