2009　北見工業大学　後期

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$x$に関する$2$次不等式$2{(x-1)}^2<3$の解は$\boxed{\text{(ⅰ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　${50}^{2009}$は$\boxed{\text{(ⅱ)}}$桁の数である．ここで${\log }_{10}5=0.699$として計算せよ．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　関数$f(x)=e^x\sin (x^3+x^2)$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{(ⅲ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　原点を中心とした角${\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$の回転移動を行い，次に$x$軸に関する対称移動を行ったとき，この$2$つの移動を合成した移動を表す行列は$\boxed{\text{(ⅳ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　関数$f(x)$は$x=a$で微分可能とする．このとき，極限値$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+3h)-f(a)}{2h}}$を$f^{\prime }(a)$を用いて表すと$\boxed{\text{(ⅴ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$x\ne 0$かつ$y\ne 0$は$(x,y)\ne (0,0)$であるための$\boxed{\text{(ⅵ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{80}}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{30}}{x}^3+{\displaystyle \frac{3}{8}}{x}^2$とする．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$が極小になる$x$の値，$f(x)$が極大になる$x$の値があればそれぞれ全て求めよ．

(2)　$y=f(x)$が下に凸になる$x$の範囲を求めよ．

(3)　$y=f(x)$の変曲点があれば全て求め，それぞれの座標を答えよ．また，それぞれの変曲点における$y=f(x)$の接線の傾きを求めよ．

(4)　$xy$平面上に曲線$y=f(x)$の概形を描け．また，(3)で求めた変曲点があれば，それぞれの変曲点における接線を曲線$y=f(x)$と同じ$xy$平面上に描け．

【３】　空間内に点$\mathrm{A}$$(1,0,1)$および点$\mathrm{P}$$(1,\mathrm{t},\mathrm{t})$がある．$\mathrm{O}$を原点とする．直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{Q}$があり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{PQ}$は直交しているとする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる$t$の値を求めよ．

【４】　自然数$n$に対し$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2n-1}}{1+x^2}}\mathit{dx}$とおく．

(1)　$I_1$を求めよ（たとえば$t=1+x^2$とおき置換積分で計算することもできる．）

(2)　$I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2n}}-I_n$を示せ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+k}}{k}}$$={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n-1}}+{\displaystyle \frac{1}{n-2}}-{\displaystyle \frac{1}{n-3}+\cdots }$$+{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n+2}}{2}}$$+{(-1)}^{n+1}$とおく．$I_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{S_n+{(-1)}^n\log 2\}$が成り立つことを示せ．

【５】　以下の文を読み，その中にある問いに答えよ．

${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_k}}=1$

をみたす$1$つ以上の自然数$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k$があって，

$n=a_1+\cdots +a_k$

となるとき，$n$を調和のとれた自然数と呼ぶことにする．ここで，$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k$の中には，同じ自然数が含まれていても良い．

　たとえば，$4$は調和のとれた自然数である．なぜなら，

$1={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

なので，$a_1=2\text{，}$$a_2=2$とすることにより，$4=2+2=a_1+a_2$となるからである．また，$1$は調和のとれた自然数である．なぜなら，$a_1=1$とすると$1={\displaystyle \frac{1}{a_1}}$となるからである．

　一方，$2$はどうだろうか．$2$をいくつかの自然数$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k$の和として表そうとすると，そのやり方は，$a_1=2$として$2=a_1$とするか，$a_1=1\text{，}$$a_2=1$として$2=1+1=a_1+a_2$とするかの$2$通りしかない．しかし，最初の場合は${\displaystyle \frac{1}{a_1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$は$1$にはならない．また，もう一方の場合も，${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}$$={\displaystyle \frac{1}{1}}+{\displaystyle \frac{1}{1}}=2$となって，やはり$1$にはならない．従って，${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_k}}=1$みたす自然数$a_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_k$で，$2=a_1+\cdots +a_k$となるようなものは存在しないので，$2$は調和のとれた自然数ではないことがわかる．

　さて，調和のとれた自然数がひとつあるときに，それを使って，別の調和のとれた自然数を作り出すことができる．次の命題は，そのやり方のひとつを述べている．