2009　秋田大学　前期

【１】　数列$\{a_n\}$を次の式

$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．また，$\alpha$と$\beta$を

$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす実数とする．ただし，$\alpha <\beta$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(ⅱ)　$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(ⅲ)　$n=1\text{，}$$2\text{．}$$3\text{，}$$\cdots$に対し$b_n=a_{n+1}-\alpha a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅳ)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し$c_n=a_{n+1}-\beta a_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$は等比数列である．数列$\{c_n\}$の公比と一般項を求めよ．

(ⅴ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$を辺の長さがそれぞれ$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=2$である三角形とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(ⅲ)　角$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(ⅳ)　角$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と角$\mathrm{\angle OAB}$の二等分線の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【３】　$0<a<1$とし，放物線$C\text{：}y=x^2$と点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$を考える．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線$l$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C$と$3$直線$l\text{，}$$x={\displaystyle \frac{a}{2}}\text{，}$$x=1$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a$が$0<a<1$を満たして動くとき，(ⅱ)の$S$の最小値を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$は正の実数であり，$b>{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　不等式$y\leqq 2x^2\text{，}$$y\geqq ax\text{，}$$y\leqq b\text{，}$$x\geqq 0$を同時に満たす領域において，放物線$y=2x^2$と直線$y=ax$と直線$y=b$とで囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$a$と$b$を用いて表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)の図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．$V$を$a$と$b$を用いて表せ．

(ⅲ)　$b=a$とする．$a$の値が変化するとき，(ⅱ)の$V$の増減を調べ，極値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{▵OAB}$に対し$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$0\leqq \alpha <1$とする．辺$\mathrm{OA}$を$\alpha :1-\alpha$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{F}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\alpha$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\alpha$を用いて表せ．

(ⅲ)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は直交し，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$とする．$\alpha$が$0<\alpha <1$を満たして動くとき，線分$\mathrm{EF}$の長さが最小となる$\alpha$の値を求めよ．

【１】　平面上に一辺の長さが$\sqrt{3}r$である正三角形$\mathrm{▵ABC}$とその平面上を動く点$\mathrm{P}$がある．正三角形$\mathrm{▵ABC}$の重心を始点とし$\mathrm{P}$を終点とするベクトルを$\overrightarrow{p}$とおく．次の問いに答えよ．なお，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$等の$\cdot$は$2$つのベクトルの内積の記号である．

(ⅰ)　$s=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$とおくとき，$s$をベクトル$\overrightarrow{p}$の大きさ$\left|\overrightarrow{p}\right|$と$r$を用いて表せ．

(ⅱ)　$t=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$とおくとき．$t$をベクトル$\overrightarrow{p}$の大きさ$\left|\overrightarrow{p}\right|$と$r$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅰ)の$s$と(ⅱ)の$t$に関して$\mathrm{P}$が$2$つの不等式

$s\geqq {\displaystyle \frac{15}{4}}{r}^2\text{，}$$t\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}{r}^2$

を同時に満たすとき，$\mathrm{P}$が描く図形の領域を求めて正三角形$\mathrm{▵ABC}$とともに図示せよ．

【２】　座標平面上で，不等式$x^2+y^2\leqq 1$の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$s=x+y\text{，}$$t=xy$とするとき，点$(s,t)$全体の集合が表す領域を求めて$st$平面上に図示せよ．

(ⅱ)　$a\geqq 0$に対して，$(a-x)(a-y)$の最小値を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　$3$枚の硬貨を同時に投げるとき，表が出た硬貨の枚数を$b$とする．$(b-x)(b-y)$の最小値を$M$とするとき，$M$の期待値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次の式

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_{2n}={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_{2n-1}\text{，}$$a_{2n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_{2n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_{2n-1}$の和を求めよ．

(ⅱ)　$T_{2n}={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}k{a}_k}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_{2n}$を求めよ．

　必要ならば，$-1<r<1$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$であることを用いてもよい．

【４】　$\alpha$は定数とし，$f(x)=-\sin x+\alpha x$とする．$g(x)$は連続関数で

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t-x)g(t)\mathit{dt}$

を満たすとする．また，$h(x)=e^{-x}|g(x)|$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数$\alpha$と関数$g(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$0<x<2\pi$において関数$h(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(ⅱ)　関数$e^{-x}(\sin x+\cos x)$の導関数を求めよ．

(ⅳ)　$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して$I_k={\displaystyle {\int }_{(2k-1)\pi }^{2k\pi }}h(x)\mathit{dx}$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$を求めよ．