2009　福島大学　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$x$の$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$がある．どのような$x$に対しても以下の等式が成り立つように，定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を定めなさい．

$f(f^{\prime }(x))=2{\{f^{\prime }(x)\}}^2+6x+2$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　次の不等式を解きなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　次の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x+1}{2x^2+7x+6}}\mathit{dx}$

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_1^{e^2}}{(1+\log x)}^2\mathit{dx}$

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,1,3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,2,1)$のどちらにも垂直で，その大きさが$\sqrt{7}$であるベクトルを求めなさい．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(1,2,1)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(2,1,1)$がある．ベクトル$s\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}-s\overrightarrow{c}$は，実数$s$の値をどのように定めても垂直にならないことを示しなさい．

【４】　以下の問いに答えなさい．

(1)　数列$\{a_n\}$に対して，$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の関係式が成り立つとする．

(ⅰ)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めなさい．

(ⅱ)　$a_n$を，$n$を用いて表しなさい．

(2)　有限数列$\{c_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$3m\text{）}$が，漸化式

$c_{n+2}=2c_{n+1}-c_n$$\text{（}n\leqq 3m-2\text{）}$

を満たすとする．ただし，$m$はある自然数である．

　$c_1=4\text{，}$$c_{3m}=-2$であるとき，$c_n$を$n$と$m$を用いて表しなさい．