2009　福島大学　後期

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$\cos 4\theta =8{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta +1$を示しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}}={\displaystyle \frac{a}{k+1}}+{\displaystyle \frac{b}{k+2}}+{\displaystyle \frac{c}{k+3}}$が成立するような$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$0<a\text{，}$$1<b<a^2$のとき，${\log }_{b}a>{\log }_b{\displaystyle \frac{b}{a}}$を示しなさい．

【２】　直線$y=x$とのなす角の大きさが$30\mathrm{°}$で，原点$\mathrm{O}$を通る直線$l$がある．

(1)　直線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　点$(2,2)$を通り，直線$l$に垂直な直線の方程式を求めなさい．また，この直線と直線$l$の交点を求めなさい．

【３】　関数$f(x)=x^2-2x-4|x-1|+5$について，次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めなさい．

【４】　定数$a\text{，}$$b$を$a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b\ne 0$とする．$f(x)$$={\displaystyle {\int }_0^1}xf(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_0^1}af(t)\mathit{dt}+b$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$を求めなさい．

(2)　$-1<x<1$における$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．

【５】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=16$と点$\mathrm{P}$$(5,7)$がある．このとき，点$\mathrm{P}$から円$C$にひいた接線の接点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$2$点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$を通る直線の方程式を求めなさい．

(2)　$2$点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$を通る直線上の点で，円$C$の外部にある点$\mathrm{Q}$から円$C$にひいた接線の接点をそれぞれ$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{V}$とする．このとき，直線$\mathrm{UV}$は点$\mathrm{P}$を通ることを示しなさい．

【１】　次の計算をしなさい．

(1)　$0.093+0.907÷{\displaystyle \frac{1}{907}}$

【１】　次の計算をしなさい．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{e-1}}(x+1)\log (x+1)\mathit{dx}$

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$\sqrt{5}$の小数部分を$4$乗した値を$a+b\sqrt{c}$の形で表しなさい．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は整数とする．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　循環小数$1.\dot{2}\dot{8}$$\text{（}=1.282828\cdots \text{）}$を分数で表しなさい．

【３】　箱の中に白球が$4$個と赤球が$1$個入っている．この箱から球$1$個を取り出して，代わりに（取り出した球の色に関係なく）赤球を$1$個補充するという操作を$n$回繰り返す．$n=1$および$n=3$のとき，箱の中に入っている赤球の個数の期待値を求めなさい．ただし，どの球の取り出され方も同様に確からしいものとする．

【４】　$xyz$空間上の$3$点$\mathrm{A}$$(1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,-1,3)$がある．四角形$\mathrm{ABDC}$がひし形になるときの点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

【５】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(0,15)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(20,0)$をそれぞれの中心として持つ$3$つの円$O_{\mathrm{A}}\text{，}$$O_{\mathrm{B}}\text{，}$$O_{\mathrm{C}}$がある．また，円$O_{\mathrm{A}}$と円$O_{\mathrm{B}}$は線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$で外接し，円$O_{\mathrm{B}}$と円$O_{\mathrm{C}}$は線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$で外接し，円$O_{\mathrm{C}}$と円$O_{\mathrm{A}}$は線分$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{R}$で外接している．

(1)　円$O_{\mathrm{A}}$の半径を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めなさい．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径と中心の座標を求めなさい．

【６】　直線$l\text{：}y=2x+{\displaystyle \frac{15}{4}}$と点$\mathrm{A}$$(s,t)$で接する放物線$H\text{：}y=p{x}^2+4$がある．

(1)　$p\text{，}$$s\text{，}$$t$の値を求めなさい．

(2)　直線$m\text{：}y=kx+3$と放物線$H$との交点の数を定数$k$の値によって分類しなさい．

(3)　$k=5$のとき，直線$m$と放物線$H$で囲まれた部分の面積を求めなさい．