2009　筑波大学　後期応用理工学類MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　以下の関数$f(x)$について，その第$1$次導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$および第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．ただし，$a$は正の定数とする．

$f(x)={\displaystyle \frac{a}{a^2+x^2}}$

(2)　問(1)で定義した関数$f(x)$について，$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(3)　問(1)で求めた第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$について，$y=f^{\prime }(x)$のグラフの概形をかけ．また，このグラフと接する直線$y=c$について，$c$の値を全て求めよ．ただし，$c$は定数とする．

【２】　媒介変数$\theta$を用いて$x={\cos }^3\theta \text{，}y={\sin }^3\theta$で表される曲線について，以下の問に答えよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　曲線の概形を描け．

(2)　曲線の長さ$L$を求めよ．ただし，$L$は次式で表される．

$L={\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}dx$

(3)　曲線と$x$軸および$y$軸で囲まれる領域の面積を求めよ．ただし，次の関係式を用いてよい．

• ${\sin }^4\theta ={\displaystyle \frac{\cos 4\theta -4\cos 2\theta +3}{8}}$
• ${\sin }^6\theta ={\displaystyle \frac{-\cos 6\theta +6\cos 4\theta -15\cos 2\theta +10}{32}}$

【３】　正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& a\end{array}\right)$および列ベクトル$X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$を考える．ただし，$a\text{，}p\text{，}q$は定数とする．このとき，$x\text{，}y$についての連立$1$次方程式$AX=P$に関する以下の問いに答えよ．

(1)　$A$の逆行列$A^{-1}$が存在するためには$a$はどのような条件を満たさなければならないか．また，この条件が満たされているとして$A^{-1}$を求めよ．

(2)　$A^{-1}$が存在するとき，$AX=P$の解を求めよ．

(3)　$A^{-1}$が存在しないとき，$AX=P$が解をもつためには$p$と$q$の間にどのような関係が成り立たなければならないか．

　以下の問いでは，$A^{-1}$は存在しないが$AX=P$は解をもつとして答えよ．

(4)　$AX=P$の解は平面においてどのような点の集合となるか．

(5)　ある定数$\lambda$に対して$AP=\lambda P$が成り立つことを示し，$\lambda$の値を求めよ．

(6)　$X$が$AX=P$を満たすとき，前問(5)で求めた$\lambda$を用いて列ベクトル$X^{\prime }$を$X^{\prime }=X-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}P$とおくと，$X^{\prime }$はどのような関係式を満たすか．また，$X^{\prime }$は$xy$平面においてどのような点の集合となるか．

(7)　$X^{\prime }\text{，}P$がともに零ベクトルでないとき，これら$2$つのベクトルのなす角を求めよ．