2009　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

2009　筑波大学　推薦理工学群数学類

易□　並□　難□

【１】　直交座標を用いて表された曲線

${(x^{2} + y^{2} - 2 x)}^{2} = 4 (x^{2} + y^{2})$

を極方程式で表わせ．さらに，この曲線の概形をかけ．

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易□　並□　難□

【２】　 $a ， b ， c ， d$ が $0 < a < b < c < d$ なる整数のとき，

$S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　 $a = 1$ のとき $S > 1$ となり， $a ≧ 3$ のとき $S < 1$ となることを示せ．

(2)　 $a = 2$ のとき， $S = 1$ となる $b ， c ， d$ は $6$ 組ある．それらを，すべて求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　 $x ， y$ を $x ≧ 0 ， y ≧ 0 ， x + y ≦ π$ を満たす実数とする．このとき，次の不等式を示せ．

$\cos x + \cos y ≧ 0$

(2)　 $α ， β ， γ$ を $0 ≦ γ ≦ β ≦ α ≦ π$ を満たす実数とする．このとき，次の不等式を示せ．

$\cos (α - β) + \cos (β - γ) + \cos (γ - α) ≧ - 1$

　また，等号が成立する場合の $α ， β ， γ$ を求めよ．