2009　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類MathJax

【２】

問１　微分の定義に従い，$\sin x$の微分を次のような手順で求める．以下の問いに答えよ．

(1)　半径$1$で中心角$\theta$の扇形の面積を考えることにより，$\sin \theta <\theta <\tan \theta$であることを示せ．ただし$\theta$の取り得る範囲は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　前問(1)の式を用いて，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$を示せ．

(3)　前問(2)の式を用いて，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}}$を求めよ．

(4)　前問(2)，(3)の結果を用い，微分の定義式に従い$\sin x$の微分を求めよ．

【２】

問２　次の関数の微分を求めよ．

(1)　$y={\displaystyle \frac{\sin x}{e^x}}$

(2)　$y=e^{\sqrt{x^2+1}}$

(3)　$y=x^{\sin x}$

【２】

問３　次の不定積分を計算せよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}dx$

(2)　${\displaystyle \int }x\cos xdx$

(3)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}dx$（$x+\sqrt{x^2+1}=t$とおいて変数変換せよ．）

【３】　図に示すような正四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=l$とする．線分$\mathrm{AB}$を内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{CP}$を内分する点を$\mathrm{H}$としたとき，$\mathrm{AP}:\mathrm{AB}=\lambda :1\text{，}$$\mathrm{CH}:\mathrm{CP}=\mu :1$であるとする．このとき，以下の問に答えよ．

問１　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$l$を使って表わせ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\lambda \text{，}\mu$を使って表わせ．

問３　線分$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとき，ベクトル計算により$\lambda \text{，}\mu$を求めよ．またこの点$\mathrm{H}$は，三角形$\mathrm{ABC}$のどのような点であるか理由を付して述べよ．

問４　問３の条件が成り立つとき，線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．