2009　東京農工大学　前期

【１】　$X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& r\end{array}\right)$は次の$2$つの条件(a)，(b)を満たす行列とする．

(a)　$\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& r\end{array}\right)=sE$が成り立つ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(b)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$は自然数で，さらに$p>q$が成り立つ．

　次の問いに答えよ．

[1]　$s=5$のときの行列$X$を$A$とする．$A$を求めよ．

[2]　$s=10$のときの行列$X$を$B$とする．$B$を求めよ．ただし答えのみでよい．

[3]　[1]，[2]で求めた行列$A\text{，}$$B$に対して，$C={(AB)}^{-1}$とおく．$C$を求めよ．

[4]　$a_1=1\text{，}$$b_1=2$として，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし，$C$は[3]で求めた行列である．これらの数列から，$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点${\mathrm{P}}_a$$(a_n,b_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$をとり，

$d_n={\mathrm{OP}}_1+{\mathrm{OP}}_2+\cdots +{\mathrm{OP}}_n$

とおく．このとき，$d=\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$を求めよ．

【２】　$2$枚の硬貨を同時に投げる試行を$2$回続ける．$1$回目に表が出る硬貨の枚数を$m$とし，$2$回目に表が出る硬貨の枚数を$n$とする．このとき，$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に点$\mathrm{P}$$(m,n)$をとる．次の問いに答えよ．

[1]　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\ne \overrightarrow{0}$となる確率を求めよ．

[2]　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の期待値$E$を求めよ．

[3]　$x^2+{\displaystyle \frac{9}{4}}{y}^2-{\displaystyle \frac{27}{4}}y+{\displaystyle \frac{45}{16}}=0$で表される楕円を$C$とする．この楕円の方程式を${\displaystyle \frac{{(x-p)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{(y-q)}^2}{b^2}}=1$の形に表すとき，実数$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q$を求めよ．ただし，$a\text{，}$$b$は正とする．

[4]　点$\mathrm{P}$が楕円$C$によって囲まれた部分にある確率を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{-2x+1}{\sqrt{4x^2+1}}}$について次の問いに答えよ．

[1]　$f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．

[2]　$y=f(x)$で表される曲線上の点$(0,1)$における接線$y=g(x)$を求めよ．ただし答えのみでよい．

[3]　$0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)<g(x)$が成り立つことを示せ．

[4]　曲線$y=f(x)$と接線$y=g(x)$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　媒介変数$t$を用いて

$x={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{\sqrt{2}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}$

で表される曲線を$C$とする．

[1]　${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}$を$t$の式で表せ．ただし答えのみでよい．

[2]　[1]で求めた$t$の式を用いて，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$t$の値を求めよ．

[3]　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x＋k$が$C$と接するとき，実数$k$の値を求めよ．

[4]　曲線$C\text{，}$直線$x=\sqrt{2}\text{，}$$x$軸，$y$軸のすべてで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．