2009　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$e$を自然対数の底，$a$を正の定数とするとき，以下の問いに答えよ．必要に応じて次の関係式を証明なしに用いてよい．

$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$

〔1〕　$n$を整数とし，$y>0$に対して関数

$A_n(y)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{x}}^y}{x}^n{e}^{-ax}\mathit{dx}$

を定義する．

(1)　$A_0(y)$を求めよ．

(2)　$A_0(y)>0$を証明せよ．

(3)　$n\geqq 1$のとき，$A_n(y)$と$A_{n-1}(y)$の関係を示せ．

〔2〕　$y>0$とする．$z$の関数$f(z)={\displaystyle {\int }_0^y}{(x-z)}^2{e}^{-ax}\mathit{dx}$が最小値をとるときの$z$の値を$z(y)$とする．

(1)　$z(y)$を求めよ．

(2)　$\underset{y\to \infty }{\lim }z(y)$を求めよ．

〔3〕　$\underset{y\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-y}^y}{e}^{-a\left|x\right|}\mathit{dx}=1$が成り立つように，$a$を定めよ．

【１】　次の問〔1〕〜〔2〕に答えなさい．

〔1〕　$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$である数列$\{a_n\}$について次の問いに答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおいて，数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【１】　次の問〔1〕〜〔2〕に答えなさい．

〔2〕　曲線$C\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+2x$がある．

　いま，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^3+2t)$（ただし，$t>0$）における接線を$l$とすると，この接線$l$は$y$軸と点$\mathrm{Q}$で交わり，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{R}$で曲線$C$と交わる．このとき次の問いに答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

(1)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$1$となるときの接線$l$を$l_0$とおく．接線$l_0$と曲線$C$とで囲まれる部分の面積$S$を求めなさい．