2009　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される移動により，点$(1,0)\text{，}(0,1)\text{，}(1,1)$がそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$に移るとする．線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QR}\text{，}\mathrm{PR}$の長さがそれぞれ$2\text{，}1\text{，}\sqrt{3}$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$ab+cd=0$となることを示せ．

(2)　$ad-bc<0$のとき，$b\text{，}d$を$a\text{，}c$を用いて表せ．

(3)　$ad-bc<0$であり，さらに$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 3\end{array}\right)$のとき，行列$A$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=\log (x^2+1)$について以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　方程式$y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$で表される曲線を$C$とする．曲線$C$の概形を描け．ただし，同じ座標平面上に直線$y=x$も描くこと．

(2)　$\alpha >0$のとき$S(\alpha )={\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}dx$とおく．曲線$C$と$x$軸と直線$x=\alpha$とで囲まれる図形の面積を$S(\alpha )$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$を直線$y=x$に関して対称に移動した曲線を$D$とする．曲線$D$の概形を描け．$D$をグラフとする関数を求めよ．

(4)　上の$2$つの曲線$C\text{，}D$と直線$x=1$とで囲まれる図形の面積を(2)で定めた$S(\alpha )$を用いて表せ．

【３】　数字$1$が書かれた玉が$2$つ，数字$2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$が書かれた玉が各$1$つずつ，合計$6$つの玉が袋に入っている．この袋から玉を任意に$1$つ取り出し，玉に書かれた数字を控えてから袋に戻す．この作業を合計$3$回行い，$3$つの数字を選ぶ．以下の問いに答えよ．

(1)　選んだ数字を$3$辺の長さとする正三角形が描ける確率を求めよ．

(2)　選んだ数字を$3$辺の長さとする二等辺三角形が描ける確率を求めよ．

(3)　選んだ数字を$3$辺の長さとする三角形が描ける確率を求めよ．

【４】　$p$を素数とする．$x\text{，}y$に関する方程式

${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}}$

を満たす正の整数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【１】　放物線$y=x^2$に対して，点$\mathrm{P}(a,a^2)$における接線$l_a$と点$\mathrm{Q}(b,b^2)$における接線$l_b$の交点を$\mathrm{R}$とし，$l_a$と$l_b$がなす角$\angle \mathrm{PRQ}$を$\theta$とする．ただし，$a>b$とする．

(1)　$\tan \theta$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$\theta$が$45°$になるときの$\mathrm{R}$の軌跡を描け．

(3)　$a$と$b$が有理数のとき，$\theta$は$60°$とならないことを示せ．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を極値および変曲点を調べて描け．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と(2)で求めた接線および$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．